Научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям «Эллиптические краевые задачи с растяжениями и сжатиями на многообразиях»
Докладчик: Савин Антон Юрьевич, д.ф.-м.н., профессор Математического института РУДН.
Тема доклада: Эллиптические краевые задачи с растяжениями и сжатиями на многообразиях.
Аннотация:Рассматривается класс эллиптических краевых задач на гладком компактном многообразии с краем, в которых основной и граничный операторы ассоциированы со сжатием многообразия (так мы называем отображения, при которых образ края содержится строго внутри многообразия). Такие задачи являются существенно нелокальными и включают в качестве частных случаев ряд известных классов нелокальных задач: задачи с гомотетиями в R^n (Россовский и Скубачевский), задачи Бицадзе-Самарского, в которых значения неизвестной функции на границе связываются с её значениями на подмногообразии, расположенном внутри области.
Получены условия эллиптичности рассматриваемого класса краевых задач в шкале пространств Соболева. При этом наибольший интерес представляет нахождение аналога условия Шапиро-Лопатинского в этой ситуации. Оказывается, что в случае нелокальных задач, ассоциированных со сжатиями, условие эллиптичности имеет принципиально новый вид. Дело в том, что при наличии сжатий необходимо замораживать коэффициенты сразу на всей орбите точки границы под действием сжатия и его итераций. В результате получаемое нами на этом пути условие типа Шапиро-Лопатинского состоит в требовании однозначной разрешимости бесконечной матричной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих траекториям граничных точек, лежащих внутри многообразия.
Участие online
Доклад основан на результатах, полученных в работах:
А.Ю.Савин, Б.Ю.Стернин, “Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем. C*-теория”, Дифференц. уравнения, 52(2016), 1383–1392
А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин, “Эллиптические дифференциальные задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем”, Дифференц. уравнения, 53:5 (2017),672–683
А.Ю.Савин, “О гомотопической классификации эллиптических задач со сжатиями и K-группах соответствующих C∗-алгебр”, СМФН, 64, №1, 2018,164–179