Математики РУДН получили оценку обратных задач дифференциального уравнения Лапласа, которая позволяет описать вид исследуемого пространства
Математики РУДН получили оценку обратных задач дифференциального уравнения Лапласа, которая позволяет описать вид исследуемого пространства
Математики РУДН получили оценку решения обратных задач дифференциального уравнения Лапласа. Имея набор значений, характеризующих отображение Лапласа и предельные параметры Дирихле-Неймана, им удалось получить условия, определяющие вид исследуемого пространства. Полученный результат позволяет описать характер физического пространства в задачах электростатики, электродинамики, квантовой механики, физики сплошных сред и в задаче исследования теплопроводности среды.

При решении физических задач математическими методами функции ставятся в соответствие определённым физическим процессам. Например, для описания процесса теплопроводности необходимо дифференциальное уравнение Лапласа ― отображение Лапласа. Эти функции действуют в рамках конкретного характерного пространства, которое соответствует физической модели рассматриваемого явления.

Экспериментальные данные физической задачи могут являться набором значений, которые характеризуют вид отображения Лапласа для конкретного пространства. Прямые задачи дифференциального уравнения позволяют получить этот набор характеристических значений при известном математическом виде отображения Лапласа. При этом решение обратных задач этих уравнений при известном наборе характеристических значений позволяет исследовать математический вид пространства, а значит и физического процесса исследуемой задачи.

Пространство характеризуется метрикой ― правилом распределения элементов в этом пространстве. Зная математический вид метрики пространства, можно получить структуру пространства физической модели исследуемой задачи. Так, анализируя данные нейронной активности (характеристические значения), можно получить метрику пространства нейронной сети, которая будет ассоциирована с физической моделью этой сети.

Известно, что вид метрики может быть однозначно определён с точностью до уровня, на котором две метрики ― g1 и g2 ― при малоотличающемся наборе характеристических значений становятся равнозначными, следовательно, решение не будет единственным. При этом в случае существования двух метрик с одинаковым набором характеристических значений допустимо преобразование, которое переводит одну метрику в другую.

Для адекватного описания вида исследуемого пространства необходимо убедиться в справедливости найденного вида метрики при решении прямой задачи дифференциальных уравнений. Для такой проверки в качестве инструмента может служить исследование единственности решения обратных задач на произвольно ограниченной области пространства.

Рассмотрев заданный набор характеристических значений на произвольно фиксированной области, авторы получили математическую оценку единственности решения для обратной задачи при определении метрики оператора Лапласа.

Другим видом входных данных для обратной задачи могут быть граничные условия, при которых известно поведение физической модели. В этом случае для получения оценки единственности решения обратной задачи авторы использовали данные о граничных условиях Дирихле-Неймана для отображения Лапласа на произвольной области исследуемого пространства.

Статья в журнале Inverse Problems & Imaging.

Новости
Все новости
Наука
31 июля
«Это полновесное географическое открытие», – преподаватель РУДН Алексей Кучейко об открытии нового острова

О том, что на карте Арктики отметят новый остров, стало известно в конце июля. Землю за полярным кругом обнаружили школьники под руководством Алексея Кучейко — доцента департамента механики и мехатроники РУДН. Группа вела работу по спутниковым снимкам. Об открытии и о том, как новые острова открывают школьники — в интервью Алексея Кучейко.

Наука
30 июля
Химик РУДН предложил новый катализатор для синтеза топлива

Химик РУДН синтезировал принципиально новый катализатор фотоокисления муравьиной кислоты, которая считается наиболее перспективным источником водорода для топливных элементов. Катализатор на основе аморфного оксида титана — это новый инструмент для превращения муравьиной кислоты. Он позволит в перспективе отказаться от традиционных дорогостоящих катализаторов на основе палладия, платины и рутения.

Наука
28 июля
Химик РУДН синтезировал координационный полимер железа с производным никотиновой кислоты

Химик РУДН синтезировал трехмерный координационный полимер железа (II) — первое координационное соединение железа, собранное из замещенной никотиновой кислоты H2cpna. Это соединение можно использовать в производстве катализаторов, необходимых для окислительной функционализации насыщенных углеводородов — процесса, который необходим в переработке нефти.