Линейные и нелинейные дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения
Линейные и нелинейные дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения
Год 2018
Департамент Математический институт им. С.М. Никольского
Область науки: Математика, Механика и Информатика
Научное направление: Математика и теоретическая физика: моделирование динамических систем
Проект посвящен развитию новых качественных и геометрических методов исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, их применению к уравнениям Власова (кинетика высокотемпературной плазмы), проблеме Като о квадратном корне из оператора, математической биологии и математической медицине.
Цели проекта
- Исследование краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части сжатия с несоизмеримыми логарифмами.
- Получение условий однозначной разрешимости эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в шкале весовых пространств Кондратьева.
- Нахождение классов эллиптических дифференциально-разностных уравнений, для которых задача Дирихле корректна в полупространстве, получение интегральных представлений и качественных свойств ее решений.
- Исследование фредгольмовости и проблемы индекса G-операторов, ассоциированных с группами интегральных операторов Фурье.
- Исследование возможности сведения вычисления объема гиперболического 5-симплекса в терминах длин ребер к вычислению одномерных интегралов от некоторых элементарных функций.
- Динамические свойства пространственно дискретных и непрерывных систем реакции-диффузии с гистерезисом в многомерном случае.
- Существование и устойчивость бегущих волн в системах с быстро осциллирующими коэффициентами.
- Исследование взаимосвязи между непотенциальными операторами, бивариационностью и алгебраическими структурами.
Руководитель проекта
Все участники
Шишков Андрей Евгеньевич
Доктор физико-математических наук, Профессор
Результаты проекта
Для функционально-дифференциального уравнения с несоизмеримыми сжатиями будут получены алгебраические условия однозначной разрешимости задачи Дирихле, а также непрерывной зависимости решения от параметров сжатия. Также будут получены условия, гарантирующие наличие у задачи бесконечномерного ядра. Дополнительно будет установлен следующий эффект: спектральные свойства функциональных операторов со сжатиями неустойчивы по отношению к малым возмущениям параметров сжатия.
Будут получены достаточные условия однозначной разрешимости в весовых пространствах Кондратьева эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями (растяжение по одной переменной и сжатие по другой), рассматриваемых на плоскости, причем условия зависят от показателей пространств.
Построение ядра Пуассона и получение интегрального представления решения задачи Дирихле в полупространстве эллиптических дифференциально-разностных уравнений общего вида. Доказательствотеоремобасимптотическойблизостидляполученныхрешений.
Предполагается установить фредгольмовость для G-операторов, ассоциированных с группами интегральных операторов Фурье, как в случае дискретных групп, так и в случае групп Ли. В качестве приложения планируется рассмотреть краевые задачи для гиперболических уравнений с данными на всей границе.
Используя неэйлеровы функционалы, будут получены бивариационные формулировки новых классов эволюционнных задач с непотенциальными операторами, исследована взаимосвязь их генераторов симметрий и построены соответствующие неклассические интегральные инварианты.
Будут получены асимптотические формулы для моментов переключения гистерезиса в узлах двумерной решетки для пространственно дискретных уравнений реакции-диффузии с гистерезисом. В пространственно непрерывном случае будет доказано существование самоподобных решений. Для бегущих волн в пористых средах будет доказана их близость к бегущим волнам в двухмастштабно-усредненной предельной системе. Кроме того, будет доказано существование волн в предельной системе.
Планируется получение формул объема гиперболического 5-симплекса через координаты вершин и длин ребер.
Будут получены достаточные условия на функционально-дифференциальный оператор с частными производными, содержащий несоизмеримые логарифмы сжатий аргументов, обеспечивающие сильную эллиптичность этих операторов и справедливости для них гипотезы Като о квадратном корне из оператора.
Будет также доказано, что эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением удовлетворяют гипотезе Като о квадратном корне из оператора.
Будут получены новые классы стационарных решений уравнений Власова-Пуассона.
Предполагается доказать существование решений смешанных задач для уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем, обладающим носителем, лежащим строго внутри области. При этом достаточные условия на физические параметры, входящие в уравнения будут носить конструктивный характер.
Будет получено расширение приложений Н-теоремы для уравнений коагуляции-дробления и уравнения Беккера-Дёринга, для уравнений типа Лиувилля в гамильтоновой механике и для метода Гамильтона-Якоби.
Будут разработаны многомасштабные модели процессов взаимодействия иммунной систем и патогенов, учитывающие различные варианты неоднородности компонент процессов.
Будут исследованы нелокальные уравнения реакции-диффузии и уравнения с запаздыванием. Будут проанализированы спектральные свойства соответствующих линейных операторов. Будут изучены свойства нелинейных задач и построена топологическая степень. Существование реакционно-диффузионных волн и импульсов будет рассмотрено для моделей свертывания крови и распространения инфекции.
Область исследования
- Нахождение новых классов операторов, удовлетворяющих гипотезе Като о квадратном корне из оператора: сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов с несоизмеримыми логарифмами сжатий аргументов и эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением.
- Исследование стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона, описывающих равновесное состояние высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе, исследование кинетики высокотемпературной плазмы, а также рост энтропии и его следствия в механике и кинетике.
- Изучение динамики распределённых систем (в физическом пространстве или пространстве признаков) описывающих взаимодействие клеток иммунной системы и патогенов в организме человека и животных.
- Исследование реакционно-диффузионных волн и импульсов для прогнозирования тромбоза и распространения инфекции в ткани.