Шишков Андрей Евгеньевич
Доктор физико-математических наук
Профессор,
математический институт им. с.м. никольского
"Я постоянно держу в уме предмет своего исследования и терпеливо жду, пока первый проблеск мало-помалу обратится в полный и блестящий свет" (Исаак Ньютон).
эволюция носителей обобщенных решений
поведение решений в неограниченных областях
устранимые и неустранимые особенности решений
уравнения течения тонких пленок
уравнение Каана-Хиллиарда
граничные режимы с сингулярным обострением
локализация особенностей решений
cупер-сингулярные и «большие» решения уравнений типа стационарной и нестационарной диффузии – сильной нелинейной абсорбции
критерий существования супер-сингулярных решений
распространение сингулярностей решений
1972
Закончил механико-математический факультет Донецкого государственного университета.
1974 - 1977
Закончил аспирантуру Института прикладной математики и механики НАН Украины.
1978
Защитил кандидатскую диссертацию на тему: «Топологические методы в теории нелинейных краевых задач».
1977-1981
Младший научный сотрудник Института прикладной математики и механики НАН Украины.
1981-1991
Старший научный сотрудник Института прикладной математики и механики НАН Украины.
1990
Защитил докторскую диссертацию на тему: «Принцип Сен-Венана и его приложения в качественной теории нелинейных граничных задач».
1991-2004
Ведущий научный сотрудник в отделе уравнений в частичных производных Института прикладной математики и механики НАН Украины.
2004-2017
Заведующий отделом уравнений в частных производных Института прикладной математики и механики НАН Украины.
2017- н.в.
Директор Научного центра нелинейных задач математической физики Математического института им. С. М. Никольского РУДН.
Преподавание
Читал курсы в Донецком государственном университете по следующим темам:
- Уравнения в частных производных;
- Качественная теории нелинейных эллиптических и параболических уравнений.
- Топологические методы и методы функционального анализа для нелинейных краевых задач;
- Функциональный анализ;
- Обыкновенные дифференциальные уравнения;
Приглашенный ученый:
- 1987 г. – Математический институт, Прага, Чехословакия (Mathematical Institute of Czechoslovak Academy of Sciences)
- 1989 г. – Институт Вейерштрасса, Берлин, Германия (Weierstass Institute, Berlin, Germany);
- 1994 – 1995 гг. – Институт Компьютеров и Автоматики (КАИ) Академии наук Венгрии, Будапешт, Венгрия (Computer and Automation Institute (CAI) of Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary);
- 1995 – 1996 гг. – Университет Катании, Италия (Catania University, Italy);
- 1996 г. – Лейденский университет, Нидерланды (Leiden University, the Netherlands); Университет Безансона, Франция (University of Besancon, France);
- 1997 г. – Институт прикладных вычислений «Мауро Пиконе», Рим, Италия (Instituto per le Applicazioni del Calcolo (IAC) "Mauro Picone", Rome, Italy); Университет Твенте, Голландия (University of Twente, the Netherlands); Лейденский университет, Нидерланды (University of Leiden, the Netherlands); Математический институт Вроцлавского университета, Польша (Mathematical Institute of Wroclaw University, Poland);
- 1999 г. – Римский университет «Ла Сапиенца», Рим, Италия (University of Rome "La Sapienza", Rome, Italy); Университет Тулузы Пол Сабатье, Тулуза, Франция (University of Toulouse Paul Sabatier, Toulouse, France); Университет Бата, Англия (University of Bath, England);
- 2001 – 2002 гг. - Университет Рима «Ла Сапиенца» (University of Roma "La Sapienza"), Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK); КАИ Академии наук Венгрии, Будапешт, Венгрия (CAI of Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary); Израильский технологический институт, Хайфа, Израиль (Technion, Haifa, Israel).
- 2003 г. – Университет Рима «Ла Сапиенца» (University of Roma "La Sapienza"), Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK).
- 2004 г. – Университет Тур, Франция (University of Tours, France); Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK).
- 2005 г. - Израильский технологический институт, Хайфа, Израиль (Technion, Haifa, Israel); Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK).
- Январь – февраль 2006 г. – Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK).
- Июнь – июль 2006 г. - Университет Тур, Франция (University of Tours, France); Гумбольдтский университет и Вейерштрасский институт прикладного анализа и стохастики (WIAS), Берлин, Германия (Humboldt University and Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS), Berlin, Germany).
- Март – октябрь 2007 г. - Университет Тур, Франция (University of Tours, France); Университет Бата, Великобритания (University of Bath, UK); Университет Суонси, Великобритания (University of Swansea, UK); Израильский технологический институт, Хайфа, Израиль (University Technion, Haifa, Israel).
- Сентябрь – декабрь 2008 г. - Университет Тур, Франция (University of Tours, France); Израильский технологический институт, Хайфа, Израиль (Israel Institute of Technology (Technion), Haifa, Israel).
- Октябрь – ноябрь 2010 г., октябрь 2011г., ноябрь 2013г., март 2015г. – приглашенный профессор, Университет Тур, Франция (University of Tours, France).
- Февраль – март 2011 г., январь 2012г., февраль 2013г., ноябрь 2014г., январь 2018г. – приглашенный профессор, Израильский технологический институт, Хайфа, Израиль (Israel Institute of Technology (Technion), Haifa, Israel);
Член редколлегий журналов:
- Украинский математический вестник;
- Украинский математический журнал;
- Abstract and Applied Analysis.
Наука
- Разработал ряд вариантов метода локальных энергетических оценок в качественной теории нелинейных граничных задач, позволивших установить ряд принципиальных результатов об асимптотических и качественных свойствах обобщенных решений широких классов квазилинейных эллиптических, параболических и некоторых составных классов дифференциальных уравнений.
- В 1995 году получил локальные варианты энергетических и энтропийных априорных оценок обобщённых решений уравнений течения тонких вязких плёнок, специфических квазилинейных параболических уравнений четвёртого порядка. На основе этих оценок в ряде работ установлены условия конечности скорости распространения носителей соответствующих решений, а также дано описание различных сценариев эволюции этих носителей во времени.
- В 1999 году предложил новый энергетический метод изучения линейных параболических граничных задач с неограниченно обостряющимися (растущими) в конечный момент времени граничными данными. На основе этого метода дал описание точных классов локализованных граничных режимов (S-режимов), то есть режимов с обострением, порождающих решения с пространственно локализованной в момент обострения зоной сингулярности.
- Совместно с профессором Л. Вероном установил точные условия на характер вырождения потенциала (условия типа Дини), обеспечивающие отсутствие эффекта распространения сингулярностей решений и, следовательно, существование суперсингулярных и «больших» решений. Также в недавних совместных работах с профессором М. Маркусом установил, что на широком классе потенциалов условие Дини является необходимым условием отсутствия распространения сингулярности вдоль многообразий вырождения, то есть был найден критерий существования указанных классов сингулярных решений.
Научные интересы
- Качественная теория решений граничных задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений второго и высоких порядков;
- Уравнения течения тонких капиллярных плёнок;
- Уравнение Каана-Хиллиарда;
- Теория сингулярных, супер-сингулярных и «больших» решений уравнений структуры нелинейной диффузии-абсорбции;
- Локализованные и нелокализованные граничные режимы с сингулярным обострением.
Мы изучаем допустимый рост на бесконечности начальных данных положительных решений ∂tu−Δu+f(u)=0 в R+×RN , когда f (u) - непрерывная функция, слабо суперлинейная на бесконечности, модельный случай f(u)=ulnα(1+u) с 1<α<2. В частности, мы доказываем, что если рост начальных данных на бесконечности слишком велик, диффузии больше нет и соответствующее решение удовлетворяет задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения ∂tϕ+f(ϕ)=0 on R+ with ϕ(0)=∞.
Мы изучаем уравнения вида (*) ut - Δu + h(x)|u|q-1u = 0 в полупространстве R+N+1. Здесь q> 1 и h - непрерывная функция в RN, обращающаяся в нуль в начале координат и положительная во всех других точках. Пусть h ̅(s)=e^((-w(s))⁄s^2 ) и предположим, что (w(s))⁄s^(2 ) монотонна на (0, 1) и стремится к бесконечности при s → 0. Показано, что если w удовлетворяет условию Дини и h (x) ≥h ̅(|x|), то существует максимальное решение (*). Это решение стремится к бесконечности при t → 0. Наоборот, если условие Дини в полупространстве не выполняется и h (x) ≤h ̅(|x|), мы строим последовательность решений, начальные данные которых сжимаются до меры Дирака с бесконечной массой в начале координат, но предел последовательности разрушается повсюду на положительной временной оси.
Рассматривается задача Коши- Неймана для полулинейного уравнения теплопроводности с абсорбционным потенциалом, вырождающимся на некоторых подмножествах начальной плоскости. Устанавливаются точные условия на характер этого вырождения, гарантирующие полное затухание любого решения за конечное время.
Изучается задача Коши – Дирихле для широкого класса квазилинейных дивергентных параболических уравнений произвольного четного порядка с граничными данными, сингулярно обостряющимися в конечный момент времени. Изучается поведение решений в окрестности времени обострения. Устанавливаются точные условия на граничный режим, гарантирующие локализацию зоны сингулярности решения в окрестности границы исходной области локализации. Изучение проводится на базе новой для этой области исследований энергетической техники, основанной на априорных оценках решений Сен – Венана в теории упругости.
Изучается свойство конечности скорости распространения носителей сильных обобщенных решений уравнений течения тонких пленок в присутствии членов, моделирующих нелинейную конвекцию. В случаях сильного и слабого проскальзывания устанавливаются точные оценки эволюции быстрого и медленного фронтов носителя решения при больших и малых временах.
В этой работе рассматривается задача Коши для одного модельного уравнения третьего порядка в частных производных с нелинейностью вида |∇u|_q. В работе доказано, что при q∈(1,3/2] локального во времени слабого решения задачи Коши в R^3 нет для достаточно широкого класса начальных функций, в то время как при q>3/2 локальное слабое решение существует.
Рассмотрено уравнение медленной диффузии с сингулярными граничными данными. Получена оценка всех слабых решений такой задачи при условии локализации граничного режима. Представлен сравнительный анализ результатов, полученных методом энергетических оценок и барьерным методом для уравнения пористой среды.
Изучаются режимы с сингулярным обострением для широкого класса квазилинейных параболических уравнений второго порядка. На основе энергетических методов устанавливаются в определенном смысле точные оценки финального профиля обобщенного решения в окрестности времени обострения в зависимости от скорости нарастания глобальной энергии этого решения.
Основное направление данной работы-изучение сингулярного характера решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Изучаются существование и свойства слабых и энтропийных решений уравнений со слабо интегрируемыми и нерегулярными данными, удаляемость особенностей и граничные режимы сингулярного пика.