Непотенциальные динамические системы и нейросетевые технологии
В 19:00 по московскому времени
Представление решения задачи математической физики в виде ряда или интеграла не всегда возможно, а для нелинейных задач возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому часто применяются приближенные методы, широко использующие современные компьютеры.
Докладчик:
Владимир Михайлович Савчин — профессор Математического института имени академика С.М. Никольского.
Одним из наиболее эффективных методов приближенного решения большого класса задач для дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (или метод сеток). Идея его состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов искомой функции заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в ДУ, заменяются разностными отношениями, а ДУ при этом заменяется системой алгебраических уравнений. Начальные и граничные условия тоже заменяются соответствующими условиями для сеточной функции. В результате строится разностная схема — конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие данной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия. Решение разностной схемы называется приближенным (или сеточным) решением дифференциальной задачи. При этом естественно требовать, чтобы построенная разностная схема была однозначно разрешима и соответствующее сеточное решение при мелкости сетки, стремящейся к нулю, неограниченно приближалось к решению задачи для ДУ. Здесь возникают такие важные понятия как сходимость, аппроксимация и устойчивость разностной схемы. На семинаре мы ограничиваемся рассмотрением простейших разностных схем.