Мастер-класс «Асимптотически квазитеплицевы цепи Маркова и их применение в теории массового обслуживания. Часть I»
2 июня с 16:00 до 17:00 по московскому времени
Анализ различных систем массового обслуживания, включая системы с групповым марковским входящим потоком (запросов, поломок, катастроф и т.д.) и его обобщениями и частными случаями, системы с полумарковским обслуживанием, распределением времени обслуживания или наработки на отказ или восстановления и т.д. фазового типа, системы с повторными вызовами, тандемные системы, системы с использованием ресурсов для обслуживания и т.д. существенно облегчается при использовании известных результатов для многомерных цепей Маркова со специальной структурой матрицы переходных вероятностей или инфинитезимального генератора. Среди этих цепей отметим так называемые однородные по пространству состояний счетной компоненты квази-процессы гибели и размножения, цепи типа M/G/1 (или квазитеплицевы цепи с верхне-хессенберговой структурой генератора), цепи типа G/M/1 (или квазитеплицевы цепи с нижне-хессенберговой структурой генератора). Наличие однородности переходов (вероятность или интенсивность перехода из состояния со значением i счетной компоненты в состояния со значением j счетной компоненты зависит от разности j-i, но не зависит от i и j) позволило получить красивые результаты для соответствующих цепей.
Однако, ряд практически важных систем, включая системы с повторными вызовами, нетерпеливыми заявками, тандемные системы, описываются многомерными цепями Маркова, не обладающими свойством однородности переходов, но приобретающими эти свойства в пределе при стремлении счетной компоненты к бесконечности. При исследовании подобных систем обслуживания в известной литературе авторы в основном прибегают к наложению неестественных предположений о характере поведения системы, например, предположения о независимости суммарной интенсивности повторов запросов с орбиты от текущего числа этих запросов, или о конечной емкости орбиты.
С целью популяризации возможных путей строгого рассмотрения таких систем с естественными предположениями о их поведении, в данном мастер-классе, состоящем из двух частей, рассматриваются цепи Маркова с верхне-хессенберговой структурой матрицы переходных вероятностей или генератора, не обладающими свойством однородности переходов, но приобретающими эти свойства в пределе при стремлении счетной компоненты к бесконечности.
Сформулированы достаточные условия эргодичности и неэргодичности этих цепей и рекомендации по их преобразованию к прозрачной скалярной форме, описаны численно устойчивые алгоритмы расчета их стационарного распределения. Приведены примеры применения таких систем к исследованию однолинейных и многолинейных систем с повторными вызовами с групповыми марковскими потоками.
Докладчик
Дудин Александр Николаевич, д.ф.-м.н., проф., директор научного центра прикладного вероятностного анализа Института прикладной математики и телекоммуникаций РУДН; заведующий лабораторией прикладного вероятностного анализа Белорусского государственного университета.