Математик РУДН создал модель роста раковой опухоли

Количество клеток в раковой опухолив идельных для них условиях должно расти по экспоненте. Однако в действительности такой экспоненциальный рост наблюдается только на ранних стадиях развития опухоли. Затем скорость деления уменьшается. Основные факторы, влияющие на это — ограничение притока питательных веществ и механическое напряжение в тканях. Для изучения этих процессов используют математические модели. Математик РУДН предложил простую математическую модель, которая учитывает основные факторы, влияющие на рост опухоли.

«Моделирование роста опухоли с учетом биомеханических свойств — не очень популярная область. Одна из неисследованных тем — совместное влияние двух важнейших факторов, которые ограничивают рост опухоли. Это доступность питательных веществ и механическое напряжение», — кандидат физико-математических наук Максим Кузнецов, младший научный сотрудник Математического института им. С.М. Никольского РУДН.

Разработанная им модель описывает опухоль и здоровые ткани вокруг нее в виде комбинации твердого вещества («каркаса» тканей) и жидкой фазы (межклеточной жидкости). Твердая фаза может появляться за счет уменьшения жидкой фазы — это соответствует делению раковых клеток. Напротив, гибель клеток соответствует переходу твердой фазы в жидкую. Такую совместную динамику математик РУДН описал с помощью системы дифференциальных уравнений, а затем изучил ее аналитически и численно.

В результате математик обнаружил два явления. Первое — разрастание опухоли до гигантских размеров (десятков сантиметров в диаметре за несколько лет). В численных расчетах это произошло при достаточно высоком уровне притока питательных веществ и достаточно маленькой гидравлической проводимости ткани — ее способности пропускать жидкость. Интересно, что подобные случаи описаны в реальной клинической практике. Такое может случаться с опухолями, рост которых сопровождается обильным производством внеклеточного матрикса.

Второе явление — замедление роста опухоли под действием механического напряжения при минимальных значениях гидравлической проводимости. В таких условиях рост опухоли на первом этапе даже не зависит от уровня притока питательных веществ. Однако далее при сильном притоке питательных веществ может произойти взрывное ускорение роста доброкачественной опухоли, при котором ее скорость роста может увеличиться в десятки раз за несколько лет. Такие случаи действительно встречаются в клинической практике.

«Ключевая задача, на которой будет сосредоточено внимание при дальнейшем изучении модели — оптимизация с помощью математического моделирования различных видов долгосрочного лечения опухолей, связанных с доставкой лекарств к опухоли посредством внутривенных инъекций. Учет двух фаз ткани и возникающего в них механического напряжения позволит адекватно воспроизвести в математической модели динамику влияния лекарственных средств на опухоль в ходе терапии», — кандидат физико-математических наук Максим Кузнецов, младший научный сотрудник Математического института им. С.М. Никольского РУДН.

Результаты опубликованы в журнале Mathematics.