Неклассические вариационные и краевые задачи и их приложения

Неклассические вариационные и краевые задачи и их приложения

Научное направление:

  • Дифференциальные уравнения с частными производными;
  • Математическая физика;
  • Вычислительная математика;
  • Теоретическая механика.

Для исследования линейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений используют симметризованные матрицы, соответствующие разностным операторам, при этом кососимметричная составляющая не нарушает сильную эллиптичность линейного оператора и свойства гладкости обобщенных решений. Ранее были предложены критерии разрешимости нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, в которых разностные операторы описываются симметричными матрицами. Было показано, что в отличие от линейного случая для нелинейных задач кососимметричная часть влияет на эллиптичность. В данном проекте предлагается использовать разработанные ранее методы для исследования нелинейных эллиптических задач с разностными операторами, которым соответствуют треугольные матрицы.

Будут также рассмотрены линейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением с переменными коэффициентами. Для этих уравнений будет установлена связь с нелокальными эллиптическими краевыми задачами типа А.В. Бицадзе, А.А. Самарского, а также исследован вопрос о существовании следов обобщенных решений на многообразиях, порожденных сдвигами границы внутрь области.

Будет также рассмотрен вопрос о спектральной устойчивости оператора Шредингера. Будут развиты и применены вариационно-гамильтоновые методы исследования качественных свойств движения бесконечномерных динамических систем. Планируется построить функционалы действия по Гамильтону для уравнений движения непотенциальных систем, включая дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, а также найти первые интегралы этих уравнений, используя подходы, основанные на применении теории преобразования переменных для исследования инвариантности самих уравнений движения и соответствующих им функционалов. Предполагается разработать теорию регуляризации и численных методов оценивания погрешности решения обратных задач для дифференциальных и функционально — дифференциальных уравнений при различной априорной информации об искомом решении.


Перечень РИД по проекту (ключевых публикаций, патентов, свидетельств):

  1. Solonukha O.V. On Nonlinear and Quasilinear Functional Differential Equations //Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S, V.9, N 3, 2016, pp. 869-893
    ISSN 1937-1632 (print) 1937-1179 (online)
  2. Попов В.А. Следы обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением//«Современная математика. Фундаментальные направления» (Journal of Mathematical Sciences)  №62, 2016, с. 124-139.
  3. Skubachevskii A.L. Nonlocal Elliptic Problems in Infinite Cylinder and Applications//Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S, 2016, vol. 9, № 3, pp. 847-868.
  4. А.Л.Скубачевский, Ю.Тсузуки Уравнения Власова-Пуассона для двухкомпонентной плазмы в полупространстве//ДАН, 2016, том 471, № 5, с. 1–3
  5. Скубачевский А.Л. "Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения"// Успехи математических наук, том 71, выпуск 5, 2016, с. 1-96.
  6. Будочкина С.А., Савчин В.М. Операторное уравнение со второй производной по времени и Гамильтона-допустимые уравнения // Доклады Академии наук, 2016, том 470, №1, с. 7-9.
  7. Budochkina S.A., Savchin V.M. An operator equation with the second time derivative and Hamiltonian-admissible equations // Doklady Mathematics, 2016, Vol. 94, No. 2, pp. 487-489.
  8. Burenkov V. I., Goldshtein V., Ukhlov A. Conformal spectral stability estimates for the Neumann Laplacian. Mathematische Nachrichten 289 (2016), p. 1-17. DOI: 10.1002/mana.201500439
  9. О.В. Солонуха, Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов, Математические заметки, 2018, 4, с. 604-620.
  10. G.M. Kuramshina, A.G. Yagola. Applications of regularizing algorithms in structural chemistry. – Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2017, Vol. 5, Issue 3, pp. 53-72.
  11. A.S. Leonov, A.N. Sharov, A.G. Yagola. A posteriori error estimates for numerical solutions to inverse problems of elastography. - Inverse Problems in Science and Engineering, 2017, v. 25, issue 1, pp. 114-1287, DOI: 10.1080/17415977.2016.1138949.
  12. A.S. Leonov, A.N. Sharov and A.G. Yagola. Solution of the inverse elastography problem for parametric classes of inclusions with a posteriori error estimate. – Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2017, v. 25, pp. 1-7, DOI: 10.1515/jiip-2017-0043.
  13. G.G. Onanov and A.L. Skubachevskii. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. 12 (2017) 192-207.
  14. V.M. Savchin, S.A. Budochkina, Yake Gondo, A.V. Slavko, ON THE CONNECTION BETWEEN FIRST INTEGRALS, INTEGRAL INVARIANTS AND POTENTIALITY OF EVOLUTIONARY EQUATIONS, EURASIAN MATHEMATICAL JOURNAL, 2018, 9(4),  с. 82-90.
  15. Попов В. А., Оценки решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением, Современная математика. Фундаментальные направления, 2018, 64, 1, с. 131-147.
  16. Буренков Виктор Иванович, Чигамбаева Диана, Нурсултанов Ерлан Даутбекович, Marcinkiewicz-type interpolation theorem and estimates for convolutions for Morrey-type spaces, Eurasian Mathematical Journal, 2018, 2, с. 82–88.
  17. Солонуха О.В., О критерии сильной эллиптичности для дифференциально- разностных операторов, Сборник материалов международной конференции “XXIX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральными эволюционным задачам” КРОМШ-2018, Статья в сборнике, 2018, с. 31-34.
  18. Леонов Александр Сергеевич, Шаров Александр Николаевич, Ягола Анатолий Григорьевич, Решение трехмерной обратной задачи эластографии на параметрическом классе с апостериорной оценкой точности, Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2019.
  19. Savchin Vladimir Mikhailovich, Budochkina Svetlana Aleksandrovna, Bi-variational evolutionary systems and approximate solutions, International Journal of Advanced and Applied Sciences, 2019.

 

Цели проекта
  • Исследовать разрешимость задачи Дирихле для существенно нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений в ограниченной области с оператором сдвигов, которому соответствуют треугольные матрицы. Определить критерии разрешимости для существенно нелинейных и квазилинейных задач.
  • Исследовать свойства обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением и переменными коэффициентами методом установления взаимосвязи с нелокальными эллиптическими задачами, связывающими значения искомой функции на различных компактах. Получить необходимые и достаточные условия существования следов обобщенных решений на многообразиях, порожденных сдвигами границы.
  • Рассмотрение вопроса о получении точных оценок отклонения собственных чисел и собственных функций оператора Шредингера при возмущении области определения через различные геометрические характеристики отклонения областей.
  • Разработка методов исследования уравнений движения бесконечномерных потенциальных и непотенциальных систем. Используя эйлеровы и неэйлеровы классы функционалов, построение соответствующих действий по Гамильтону для различных классов уравнений движения бесконечномерных систем и исследованы вопросы их представимости в виде уравнений Эйлера-Лагранжа с непотенциальными плотностями сил, включая дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения.
  • Исследовать инвариантные свойства построенных действий по Гамильтону и самих уравнений движения относительно различных групп преобразований. В этой связи можно ожидать нахождение законов сохранения в неклассическом виде (например, в виде интегралов со свертками и т.п.).
  • Решение фундаментальной проблемы вычислительной математики —развитие и применение теории экстраоптимальных регуляризирующих алгоритмов для решения линейных и нелинейных многомерных некорректно поставленных задач для дифференциальных уравнений.
Руководитель проекта Все участники
Филиппов Владимир Михайлович

Филиппов Владимир Михайлович

Президент РУДН, доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии образования
Результаты проекта
Исследована разрешимость первой краевой задачи для нелинейного эллиптического функционально-дифференциального уравнения. Предложены достаточные условия существования решения краевой задачи с р-Лапласианом и оператором сдвигов, которому соответствуют несимметричные матрицы, а также достаточные условия аккретивности разностного оператора. Предложен критерий псевдомонотонности квазилинейного дифференциально-разностного оператора с несимметричным оператором сдвигов.
Рассмотрены эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением в цилиндре, а также системы сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, возникающих в теории трёхслойных оболочек с гофрированным заполнителем. Доказано, что эллиптические дифференциально-разностные операторы в цилиндре со сдвигами аргумента по оси цилиндра удовлетворяют гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора. Установлена связь между вариационной задачей для функционала, описывающего полную потенциальную энергию трехслойной оболочки и сильно эллиптической системы четырёх дифференциально-разностных уравнений в прямоугольнике. Доказано существование и единственность обобщенного решения краевой задачи для этой системы дифференциально-разностных уравнений, вещественность и дискретность спектра соответствующего дифференциально-разностного оператора, сходимость метода Ритца, а также гладкость обобщенных решений во всей области.
Введен новый класс пространств типа Морри, который включает классические пространства Морри. Обсуждаются их свойства и доказывается интерполяционная теорема типа Марцинкевича. Затем эта теорема применяется для получения неравенства типа Юнга – О'Нейла для оператора свертки в пространствах типа Морри, которое может быть применено ко многим задачам теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Разработан и реализован новый метод решения обратной задачи эластографии в двумерном и трехмерном случае с апостериорной оценкой погрешности решения.
Сформулированы критерии разрешимости эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в форме условий на треугольные матрицы, соответствующие разностному оператору, при условии, что дифференциальный оператор либо является квазилинейным и удовлетворяющим алгебраическим условиям сильной эллиптичности, либо имеет специальную форму, например, р-Лапласиана. Существенность полученных критериев проиллюстрирована контрпримерами.
Установлена взаимосвязь между первой краевой задачей для эллиптического дифференциально-разностного уравнения с вырождением и эллиптическим дифференциальным уравнением с нелокальными краевыми условиями, связывающими значения искомой функции на различных компактах, полученных друг из друга сдвигами на элементы группы, порожденной разностными операторами.
Для класса областей, описываемых с помощью фиксированного атласа, получены оценки модуля разности собственных чисел оператора Шредингера, для первой краевой задачи, рассматриваемого на двух разных областях, через расстояние по атласу между этими областями. При этом допускаются области со сколь угодно сильным вырождением. Путем модификации операторов перехода получены оценки через лебегову меру симметрической разности областей. Аналогичные вопросы будут рассмотрены для собственных чисел оператора Шредингера для второй краевой задачи, что потребует другой методики по сравнению с первой краевой задачей. Будет также исследована зависимость постоянной в этих оценках от номера собственного числа.
Доказано, что генераторы симметрий (вариационных и симметрий уравнений) образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов. Получены условия, при выполнении которых генераторы симметрий (вариационных и симметрий уравнений) образуют алгебру Ли относительно G-коммутатора двух генераторов. Получены условия, при выполнении которых генераторы симметрий (вариационных и симметрий уравнений) образуют Ли-допустимую алгебру относительно (S,T)-произведения двух генераторов.
Область исследования
  • Изучение обратных задач для дифференциальных уравнений связана с важными приложениями к задачам геофизики, компьютерной томографии, финансовой математики и др.
Партнеры