Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях

В проекте рассматриваются краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в ограниченных областях и полупространстве, а также эллиптические функционально-дифференциальные уравнения во всем пространстве R^n. Будет исследована задача Дирихле в полупространстве для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, получены как необходимые, так и достаточные условия коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов в ограниченных областях, а также рассмотрены приложения указанных задач к проблеме Като о корне квадратном из оператора. Будет доказана гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением и исследована разрешимость параболических задач для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах. Будут рассмотрены эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с различными сжатиями, логарифмы которых несоизмеримы, и установлены условия однозначной и фредгольмовой разрешимости краевой задачи и непрерывной зависимости решений от коэффициентов сжатия. Также будет исследована разрешимость в весовых пространствах функционально-дифференциальных уравнений, содержащих в старшей части сжатия по одним переменным и растяжения по другим (такие преобразования называются ортотропными сжатиями).


Перечень РИД по проекту (ключевых публикаций, патентов, свидетельств):

  1. Скубачевский А.Л., Гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением в цилиндре, ДАН, т. 478, № 2, 2018, С. 145-147.
  2. Muravnik A. B., On the half-plane Dirichlet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 130-143.
  3. Муравник А.Б., Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач, Современная математика. Фундаментальныенаправления, т. 63, вып. 4, 2017
  4. Rossovskii L., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 226-239.
  5. Россовский Л. Е., К фильтрации изображений с использованием анизотропной диффузии, ЖВМиМФ, т.57, № 3, 2017, С. 396–403.
  6. Селицкий А.М. Разрешимость параболического функционально-дифференциального уравнения в банаховых пространствах // Научные ведомости БелГУ, т. 27(290), вып. 49, 2017, С.158-162.
  7. Россовский Л.Е., Тасевич А.Л., Об однозначной разрешимости функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах// Дифференц. уравнения, т.53, № 12, 2017, С. 1679-1692
  8. Tasevich A., Analysis of Functional-Differential Equation with Orthotropic Contractions// Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 12, No.6, 2017, С. 240-248.
  9. Skubachevskii A.L., The Kato Square Root Problem for Some Class of Regular Accretive Operators// The 43th Сonference on Evolution Equations and Applications. AbstractBook. Tokyo, Japan, December 25-27, 2017. С. 92-93.
  10. Муравник А.Б., Об эллиптических дифференциально-разностных уравнениях общего вида в полуплоскости // Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 103-104.
  11. Skubachevskii A.L., Differential-DifferenceOperatorswithDegenerationSatisfyingtheKatoSquareRootProblemConjecture// Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 123-124.
  12. Тасевич А.Л., О применении весовых пространств Кондратьева к исследованию разрешимости эллиптических функционально—дифференциальных уравнений со сжатиями// Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2017 «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам», 2017, C. 112-114.
  13. Rossovskii L., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions// International Conference on Differential and Difference Equations and Applications. Abstract Book. Amadora, Portugal, 2017, c. 152.
  14. Tasevich A., Functional-Differential Equation with Contractions in Weighted Spaces// International Conference on Differential and Difference Equations and Applications. Abstract Book. Amadora, Portugal, 2017, c. 157.
  15. Ivanova E.P., Boundary Value Problems for Differential-Difference Equations with Incommensurable Shifts of Arguments// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 81-82.
  16. Muravnik A.B., On Maximum Principle for Differential-Difference Equations // The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 124-125.
  17. Rossovskii L.E., Elliptic Functional Differential Equations with Incommensurable Contractions// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 149-150.
  18. Skubachevskii A.L., Kato Square Root Problem for Elliptic Functional Differential Operators// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 171.
  19. Tasevich A.L., On solvability of functional-differential equations with contractions in weighted spaces// The 8th International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 13-20, 2017. International Workshop «Differential Equations and Interdisciplinary Investigations», Moscow, Russia, August 17-19, 2017: abstracts. Москва, РУДН, 2017, С. 175-176.

 

Цели проекта
  • Доказательство разрешимости, определение классов единственности, получение интегрального представления решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений и изучение их качественных свойств. Получение в явном виде необходимых и достаточных условий выполнения неравенства типа Гординга для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в ограниченной области.
  • Доказательство гипотезы Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в некоторых ограниченных областях, а также исследование разрешимости параболических задач для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах. Получение условий разрешимости краевых задач для различных типов функционально-дифференциальных уравнений, содержащих сжатия и растяжения аргументов старших производных неизвестной функции, включая уравнения с несоизмеримыми сжатиями и ортотропными сжатиями.
Руководитель проекта Все участники
Скубачевский Александр Леонидович

Скубачевский Александр Леонидович

Директор математического института им. С.М. Никольского факультета физико-математических и естественных наук
Результаты проекта
Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц двукомпонентной высокотемпературной плазмы под действием внешнего магнитного поля. Показано, что характеристики уравнений Власова с фиксированным потенциалом самосогласованного электрического поля и под действием достаточно большого внешнего магнитного поля не достигают границы рассматриваемой области. Доказана разрешимость первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения такой задачи, с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими строго во внутреннем цилиндре.
Была установлена связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Были доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи.
Исследуется краевая задача для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения в цилиндрической области. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости такой задачи и о гладкости ее обобщенных решений. Эти результаты применяются для доказательства однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи для уравнения Пуассона. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений такой задачи. В свою очередь, эти результаты применяются к исследованию гладкости обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений, которые не обязательно являются сильно эллиптическими.
Доказана справедливость гипотезы Т. Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением.
Получена оценка снизу на норму многочлена от операторов и их сопряженных, обеспечивающая «независимость» пары нормальных коммутирующих операторов в гильбертовом пространстве. Рассмотрены следующие примеры «независимых» операторов: операторы сжатия независимых переменных с мультипликативно несоизмеримыми коэффициентами сжатия, оператор сжатия и операторы умножения на однородные функции нулевой степени, а также оператор сжатия и оператор поворота. В каждом из этих случаев указан явный вид пространства максимальных идеалов соответствующей B*-алгебры. На основе этих результатов получены необходимые и достаточные алгебраические условия сильной эллиптичности функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих в старшие производные преобразования сжатия аргументов с несколькими параметрами сжатия, логарифмы которых несоизмеримы. Доказано, что задача Дирихле для сильно эллиптического уравнения имеет единственное решение, зависящее непрерывно от параметров сжатия, а отвечающий задаче неограниченный оператор является генератором аналитической полугруппы. Анализ полученных условий показывает, что, являясь сильно эллиптическим при фиксированных несоизмеримых значениях параметров сжатия, функционально-дифференциальное уравнение будет таковым и в окрестности этих значений. Это в корне отличается от случая, когда в уравнении присутствуют лишь соизмеримые сжатия – здесь свойство сильной эллиптичности не является устойчивым относительно малых независимых возмущений параметров сжатия.
Для функционального оператора с аффинным преобразованием аргумента, определенного как композиция оператора сжатия аргумента (функции, на которую действует оператор) и оператора свертки с сосредоточенной на компакте регулярной борелевской мерой, выведена формула спектрального радиуса (в пространстве L_2 (R^n )) на основе характеристической функции меры. Получены явные выражения для спектрального радиуса в случае атомарных мер, а также ряда других мер. Изучено действие функционального оператора с аффинными преобразованиями на функции, заданные в ограниченной области. Предложенный подход применяется затем к модельной краевой задаче для эллиптического оператора, содержащего аффинное преобразование аргумента. Установлено достаточное условие однозначной разрешимости задачи Дирихле. Показано, что при нарушении такого условия в краевой задаче возможна потеря свойства корректности.
Была исследована разрешимость функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах H^s_0(ℝ^2). Эти пространства - частный случай весовых пространств В.А. Кондратьева, где вес, т.е. степень расстояния до начала координат, равен нулю. Был получен ряд достаточных условий, выраженных непосредственно через коэффициенты уравнения, существования и единственности решения данного уравнения с ортотропными сжатиями. При этом в условиях фигурирует показатель гладкости s, чье изменение имеет существенное влияние. Для функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями вначале получены условия однозначной разрешимости в шкале весовых пространств Кондратьева H^s_β(ℝ^2). В эти условия включены как коэффициенты уравнения, так и параметры s и β пространства. Введена новая шкала весовых пространств, в которых весовая функция естественным образом связана с преобразованием ортотропного сжатия, являясь степенью отношения x_1/x_2 координат. Изучены свойства этих пространств, связанные, прежде всего, с действием преобразования Фурье.
Получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности (выполнение неравенства Гординга) для дифференциально–разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов для ограниченных областей, допускающих конечное разбиение, ассоциированное с семейством сдвигов разностного оператора. В этом случае орбита границы под действием сдвигов конечна.
Для случая конечной орбиты доказано сохранение гладкости обобщенных решений эллиптических краевых задач в подобластях разбиений области. Предложен метод сведения таких задач к краевым задачам с нелокальными краевыми условиями.
Для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами в случае бесконечной орбиты границы получены близкие к необходимым достаточные условия сильной эллиптичности.
Получены необходимые и достаточные условия равномерной сильной эллиптичности возмущенных дифференциально-разностных уравнений.
Для эллиптического дифференциально-разностного уравнения общего вида, т. е. для уравнения, в котором по переменной, параллельной граничной оси, действует произвольное количество суперпозиций второй производной и операторов сдвига, не связанных между собой никакими условиями соизмеримости, построено интегральное представление решения задачи Дирихле в полуплоскости в смысле обобщенных функций (по Гельфанду–Шилову), доказана его гладкость вне граничной прямой, а также доказана теорема об асимптотической близости построенного решения и решения задачи Дирихле в той же полуплоскости для эллиптического дифференциального уравнения, полученной из исходной (нелокальной) задачи следующим образом – значения всех сдвигов полагаются равными нулю. В качестве следствия из этой теоремы об асимптотической близости выведен критерий (поточечной) стабилизации решения исходной (нелокальной) задачи – доказано, что он совпадает с классическим критерием Репникова–Эйдельмана. Для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с нелокальными потенциалами доказано существование классического решения задачи Дирихле в полуплоскости, а также построено его интегральное представление формулой пуассоновского типа. Для эллиптических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия глобальных решений (соответственно – глобальных положительных решений). Для параболических квазилинейных функционально-дифференциальных неравенств, содержащих сверточные члены и регулярные (сингулярные) нелинейные члены KPZ-типа, найдены достаточные условия отсутствия решений (соответственно – положительных решений) задачи Коши во всем полупространстве. Как следствие, получены достаточные условия отсутствия решений (положительных решений) квазилинейных эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений со сверточными членами и регулярными (сингулярными) нелинейными членами.
Область исследования
  • Теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами аргументов в старших членах имеет важные приложения в теории многослойных пластин и оболочек, теории многомерных лазерных систем и теории управления.
Партнеры