Некоммутативная эллиптическая теория

Некоммутативная эллиптическая теория

Основная цель проекта — построить некоммутативную эллиптическую теорию для нового класса операторов, ассоциированных с представлением группы квантованными каноническими преобразованиями на различных многообразиях. Изучается фредгольмовость исследуемых операторов и предъявляются формулы индекса для них.


Перечень ключевых публикаций по проекту:

  1. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин, Э. Шроэ. Эллиптические операторы, ассоциированные с группами квантованных канонических преобразований. Успехи матем. наук. Т. 73, 2018.
  2. A. Savin, E.Schrohe, B. Sternin Elliptic operators associated with groups of quantized canonical transformations. Bull. Sci. Math. 2018, 20p. (in print)
  3. П.А. Сипайло. Следы квантованных канонических преобразований, сосредоточенные на конечном множестве точек. Дифференциальные уравнения, 54, н. 4, 2018
  4. П.А. Сипайло О следах интегральных операторов Фурье на подмногообразиях, Математические заметки, 2018 (в печати)
  5. А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин, «Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем. C*-теория», Дифференциальные уравнения, 52 (2016), н. 10, 1383-1392.
  6. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин. Эллиптические дифференциальные задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем. Дифференц. уравнения, 53 (2017), н.5, 672-683
  7. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин, «Гомотопическая классификация эллиптических задач, ассоциированных с действиями дискретных групп на многообразиях с краем», Уфимский математический журнал, т.8, № 3, 2016, 126-134.
  8. А.Ю. Савин. О гомотопической классификации эллиптических краевых задач и задач с условиями сопряжения. Совр. матем. Фунд. направл. 2018, 8p.
  9. А. Ю. Савин, Б. Ю. Стернин, «Эллиптические G-операторы на многообразиях с изолированными особенностями», Современная математика. Фундаментальные направления, 59 (2016), 173–191.
  10. В.М. Мануйлов. Пары операторов с равным отклонением от унитарности и их относительный индекс. Математический сборник, 208 (2017), № 10, 113-125.
  11. А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин, «О следах операторов, ассоциированных с действиями компактных групп Ли», Фундаментальная и прикладная математика. 2016. Т. 21, н. 5.
  12. Д.А. Лощенова. О следах G-операторов, сосредоточенных на подмногообразиях. Труды МФТИ, т. 9, № 2(39), 2017, 85-96.
  13. N. R. Izvarina. On the symbol of nonlocal operators associated with a parabolic diffeomorphism. Eurasian Math. Journal, v.9, 2018, 11p.

 

Цели проекта
  • Основная цель проекта — построить некоммутативную эллиптическую теорию для нового класса операторов, которые мы называем G-операторами, ассоциированных с представлением группы квантованными каноническими преобразованиями на различных многообразиях. Рассматриваемые операторы представляются тремя ипостасями: 1) операторами на замкнутых многообразиях, 2) относительная (некоммутативная) эллиптическая теория и 3) некоммутативная эллиптическая теория на многообразиях с особенностями. Во всех случаях изучается фредгольмовость исследуемых операторов и предъявляются формулы индекса для них.
Руководитель проекта Все участники
Савин Антон Юрьевич

Савин Антон Юрьевич

Ученая степень - Доктор наук
Результаты проекта
Исследуется проблема индекса для эллиптических G-операторов, ассоциированных с действием дискретной группы квантованных канонических преобразований.
Исследуется относительный индекс для сбалансированных пар псевдодифференциальных операторов, символы которых не обязаны быть эллиптическими, а операторы не обязаны быть фредгольмовыми.
Исследуются краевые задачи с нелокальными условиями, а именно, задачи, ассоциированные с растяжениями-сжатиями. Рассмотрены примеры --- задачи для возмущения задачи Дирихле для оператора Лапласа в шаре операторами растяжения и сжатия. Также была исследована проблема стабильной гомотопической классификации эллиптических операторов с растяжениями и сжатиями. Указанная классификация была получена в случае, когда сжатие действует тождественно на своём притягивающем множестве.
Исследуются следы G-операторов, ассоциированные с действием компактной группы Ли, для случая, когда неподвижные точки действия группы образуют подмногообразие произвольной размерности, вложенное в данное подмногообразие. Получено полное описание таких следов в терминах пседводифференциальных операторов с операторно-значными символами, сформулированы условия их эллиптичности, а также рассмотрена ситуация, когда эти следы не являются фредгольмовыми операторами, но тем не менее их можно достроить до фредгольмовых. Также были исследованы следы квантованных канонических преобразований и, более общо, интегральных операторов Фурье. Были сформулированы условия, при которых такие следы снова являются интегральными операторами Фурье.
Исследуется зависимость фредгольмовой разрешимости параболических диффеоморфизмов сфер от показателя гладкости s в шкале пространств Соболева. Показано, что указанная фредгольмова разрешимость не зависит от s.
Область исследования
  • Результаты проекта имеют приложения в теории обратных задач для гиперболических уравнений, теории динамических систем, а также в некоммутативной геометрии.
Партнеры