Сингулярные решения квазилинейных эллиптических и эволюционных уравнений

Сингулярные решения квазилинейных эллиптических и эволюционных уравнений

В задаче об описании асимптотических свойств обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничного режима (т. е. граничных данных) к настоящему времени найдены предельные ограничения сверху на интенсивность обострения, приводящие к решениям с ненулевой, но конечной мерой множества «blow-up», т.е описаны так называемые S-режимы. Для более интенсивных граничных режимов (так называемых HS-режимов) найдены точные оценки сверху распространения волны сингулярности. В рамках проекта предполагается изучить произвольные менее сингулярные, чем S-режимы, так называемые LS-режимы, и установить точные оценки сверху на предельный профиль решения в окрестности времени обострения в зависимости от  асимптотики соответствующего LS-режима. На основе этого анализа планируется изучить свойства «больших» решений различных классов уравнений типа нестационарной диффузии-нелинейной абсорбции с вырождающимся в некоторый конечный момент времени абсорбционным потенциалом. Предполагается дать точное описание распространения особенностей «больших» решений с границы области внутрь области вдоль многообразия вырождения абсорбционного потенциала. Кроме того, для различных классов эллиптических и параболических уравнений типа стационарной и нестационарной диффузии-нелинейной абсорбции с абсорбционным потенциалом, вырождающимся на некоторых многообразиях, выходящих на границу  соответствующей области или начальную плоскость, предполагается установить точные необходимые и достаточные условия (а в некоторых случаях и критерий) на характер вырождения потенциала, гарантирующие существование или несуществование суперсингулярных решений с точечной сингулярностью в точке из пересечения указанного выше многообразия и границы соответствующей области или начальной плоскости.

Предполагается рассмотреть ряд задач о существовании и несуществовании глобальных решений различных классов стационарных и эволюционных уравнений с нелинейным источником в духе теорем Фуджиты. Так, планируется установить условия эффекта «blow-up» решений, условия устранимости особенностей, установить условия стабилизации решений на бесконечности для широких классов эллиптических, параболических и некоторых бестипных уравнений высокого порядка. Будет продолжено изучение эффекта «blow-up» решений задачи Коши и задач в четверти пространства для модельных нелинейных уравнений современной математической физики: обобщенных уравнений Хохлова-Заболоцкой, уравнений ионно-звуковых волн в плазме, уравнений Розенау-Бюргерса, уравнений типа Бенджамина-Бона-Махони-Бюргерса, а также различных вариантов уравнений акустических и электромагнитных волн в сплошных средах. Будет изучено разрушение и мгновенное разрушение решений  нелинейных эволюционных уравнений с некоэрцитивными нелинейностями вида производной от квадратичной нелинейности.

Планируется также изучить влияние поведения коэффициентов при больших значениях времени на глобальную разрешимость начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений с нелокальными членами в уравнении и граничном условии. При этом предполагается исследовать задачи с нелокальными членами как по пространственным переменным, так и по времени.
Будут также изучены близкие по методам исследований в теории сингулярных решений задачи об усреднении нелинейных эллиптических уравнений. Так для семейств эллиптических операторов с нестандартным ростом при наличии так называемого эффекта Лаврентьева будет построена предельная усредненная задача на основе подходящего обобщения понятия G-сходимости. Для описания условий роста усредненных операторов будет использована Г-сходимость анизотропных интегральных функционалов. Также планируется исследовать асимптотическое поведение решений вариационных задач с неявными ограничениями и вариационных неравенств с двусторонними препятствиями в переменных  областях.

Будет исследована суммируемость энтропийных решений нелинейных эллиптических уравнений с правой частью из слабых логарифмических классов.


Перечень ключевых публикаций по проекту

  • Akduman, S., Pankov, A. Nonlinear Schrödinger equation with growing potential on infinite metric graphs//Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications (Q1).
  • Pankov A. Solitary waves on nonlocal Fermi–Pasta–Ulam lattices: Exponential localization//Nonlinear Analysis: Real World Applications (Q1).
  • Konkov A. A., Shiskov A. E.    Generalization of the Keller-Osserman theorem for higher order differential inequalities // Institute of Physics Publishing, Nonlinearity (Q1).
  • Korpusov M., Ovchinnikov V., Panin A. Instantaneous blow‐up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field // Mathematical Methods in the Applied Sciences (Q1).
  • Gladkov A., Kavitova T. Global existence of solutions of initial-boundary value problem for nonlocal parabolic equation with nonlocal boundary condition// Mathematical Methods in Applied Sciences (Q1).
  • Gladkov A., Guedda M.    Global existence of solutions of a semilinear heat equation with nonlinear memory condition//Applicable Analysis (Q2).
  • Kon’kov, A.A., Shishkov, A.E. On blow-up conditions for solutions of higher order differential inequalities//Applicable Analysis (Q2).
  • Korpusov M.O. Blow-up of Solutions of Nonclassical Nonlocal Nonlinear Model Equations//Computational Mathematics and Mathematical Physics (Q2).
  • Shishkov, A.E., Yevgenieva, Y.A. Localized Blow-Up Regimes for Quasilinear Doubly Degenerate Parabolic Equations//Mathematical Notes (Q2).
  • Korpusov M.O., Yablochkin D.K. Potential Theory for a Nonlinear Equation of the Benjamin–Bona–Mahoney–Burgers Type // Computational Mathematics and Mathematical Physics (Q2).
  • N. Alibaud, B. Andreianov, A. Ouedraogo. Nonlocal dissipation measure and L^1kinetic theory for fractional conservation laws. Communications in Partial Differential Equations (Q1)
    https://doi.org/10.1080/03605302.2020.1768542
  • B. Andreianov, M. Maliki. On classes of well-posedness for quasilinear diffusion equations in the whole space. Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S (Q2). https://doi.org/ 10.3934/dcdss.2020361
  • A.A. Kon’kov, A.E. Shishkov. On Removable Singularities of Solutions of Higher-Order Differential Inequalities. Advanced Nonlinear Studies (Q1). https://doi.org/10.1515/ans-2020-2085
  • M.O. Korpusov, E.A. Ovsyannikov. Blow-up instability in non-linear wave models with distributed parameters. Izvestiya: Mathematics (Q2). https://doi.org/10.1070/IM8820
  • M.O. Korpusov, D.V. Lukyanenko, A.A. Panin. Blow-up for Joseph–Egri equation: Theoretical approach and numerical analysis. Mathematical Methods in the Applied Sciences (Q1). https://doi.org/10.1002/mma.6421
Цели проекта
  • Изучается предельное поведение решений квазилинейных параболических уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничного режима.
  • Рассматриваются вопросы существования и несуществования глобальных решений различных классов стационарных и эволюционных уравнений с нелинейным источником.
  • Изучаются условия существования суперсингулярных и больших решений уравнений типа диффузии-нелинейной абсорбции с вырождающимся абсорбционным потенциалом.
  • Изучаются вопросы усреднения семейств граничных задач для нелинейных эллиптических уравнений и усреднения вариационных неравенств.
Руководитель проекта Все участники
empty-photo

Шишков Андрей Евгеньевич

Доктор физико-математических наук, Профессор
Результаты проекта
Качественная теория нелинейных уравнений в частных производных
Приложения к нелинейным задачам математической физики
Исследованы начально-краевые задачи для дважды квазилинейных параболических уравнений типа ньютоновско-неньютоновской фильтрации с граничными режимами с сингулярным обострением в некоторый конечный момент времени. Описаны локализованные режимы с обострениями и для соответствующих решений получены точные верхние оценки профиля решения вблизи времени разрушения. Установлены также точные условия существования и несуществования супер-сингулярных решений различных квазилинейных и полулинейных эллиптических и параболических уравнений.
Рассмотрены нелинейные нелокальные уравнения математической физики, для которых найдены достаточные условия разрушения решений начально-краевых задач за конечное время. Рассмотрены нелинейные уравнения Шредингера (NLS) на бесконечных метрических графах. Это новая, активно развивающаяся область исследований, также известная под названием «Нелинейные квантовые графы». Исследованы уединенные волны в решетках типа Ферми-Паста-Улама (ФПУ) с нелокальным взаимодействием. Доказано, что нелокальные уединенные волны затухают экспоненциально быстро на бесконечности.
Получены условия, гарантирующие, что любое решение во всём пространстве широкого класса стационарных дифференциальных неравенств высокого порядка с нелинейностью типа Эмдена-Фаулера тривиально, то есть любое локальное решение разрушается в некоторой ограниченной подобласти. Для соответствующих эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка найдены точные условия на их структуру (аналоги условий Келлера-Оссермана в случае второго порядка), обеспечивающих стабилизацию к нулю на бесконечности по времени любого решения в полупространстве.
Партнеры

Страна партнера

Россия

О партнере

Сегодня Московский университет — крупнейший классический университет России, в котором обучается более 45 тысяч человек из всех регионов страны (на разных формах обучения). В МГУ 40 факультетов (за последние 20 лет создан 21 факультет), 15 научно-исследовательских институтов, около 750 кафедр, отделов и лабораторий, Медицинский научно-образовательный центр.

Страна партнера

Белоруссия

О партнере

Белорусский государственный университет (БГУ) — ведущее высшее учебное заведение Белоруссии, расположенное в Минске. Сегодня Белорусский государственный университет - ведущий научный, образовательный, инновационный и культурный центр Республики Беларусь. Университет использует свой потенциал, основанный на лучшем отечественном и международном опыте, для удовлетворения интеллектуальных, культурных и социальных потребностей и интересов белорусского общества и государства, содействует устойчивому развитию Беларуси.

Страна партнера

США

О партнере

Государственный университет Морган - государственный вуз на северо-востоке города Балтимор, штат Мэриленд. В нем обучается порядка 6,000 студентов на программах различного уровня, от бакалавриата до докторантуры. Помимо этого, университет предлагает разнообразные программы в профессиональных областях, включая инженерию, бизнес, педагогическое образование, архитектуру, гостиничный менеджмент и социальную работу.