Нелокальные задачи и их применение в математической физике и математической медицине

Нелокальные задачи и их применение в математической физике и математической медицине

  1. Построение сферически симметричных стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона, описывающих стационарное распределение частиц в гравитационном поле. Получение достаточных условий удержания высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе типа «пробочная ловушка».
  2. Исследование реакционно-диффузионных волн, описывающих свертываемость крови и распространение инфекции. Построение математической модели динамики ВИЧ инфекции и исследование вопросов управляемости и стабилизации динамики инфекции.
  3. Исследование разрешимости начально-краевых задач, описывающих движение вязкоупругих сред.
  4. Изучение вопросов разрешимости, корректности, поведения решений при больших временах и управляемости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка по пространственным переменным, в том числе уравнения Кавахары и Захарова-Кузнецова.
  5. Изучение связи матрицы рассеяния с функцией Вейля, характеристической функцией  несамосопряженного оператора и функцией спектрального сдвига. Построение теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиями независимых переменных. Получение интегральных представлений и качественных свойств решений для задачи Дирихле в полуплоскости для эллиптических уравнений с нелокальным потенциалом.
  6. Исследование фредгольмовой разрешимости, построение топологических инвариантов символа эллиптических операторов, ассоциированных с группами квантованных канонических преобразований, включая операторы на компактных многообразиях, метаплектические операторы в Rn любой размерности, волновое уравнение с граничными условиями на конечном цилиндре. 
  7. Нахождение формулы следов для разности функций возмущённого нормального оператора и исходного нормального оператора.
  8. Установление взаимосвязи между  мультивариационностью,  первыми интегралами и интегральными инвариантами  заданных эволюционных задач с непотенциальными операторами.
  9. Доказательство теоремы об изоморфизме, порождаемом невырожденным разностным оператором с переменными коэффициентами в пространствах Соболева. Доказательство разрешимости задачи Н.Н. Крассовского о полном успокоении нестационарной  системы управления с последействием.
  10. Разработка и развитие эффективных аналитико-численных методов решения и исследования краевых задач для эллиптических уравнений и систем дифференциальных уравнений в сложных областях с геометрическими особенностями и квазиконформное отображение таких областей. Построение формул аналитического продолжения гипергеометрических функций типа Лауричеллы, развитие аналитико-численных методов конформного и гармонического отображения сложных областей и решение краевых задач в таких областях. Описание структуры формул, выражающих объемы гиперболических симплексов размерности 4 и 5 через координаты вершин, а также получение формулы объема сферического тетраэдра через координаты вершин.
  11. Моделирование распределения Гаусса и смешанного распределения Гаусса при наличии выбросов посредством глубинных нейронных сетей. Динамическое определение параметров нейронных сетей как решений системы дифференциальных уравнений.
  12. Разработка разностных схем для задач идентификации для уравнений с частными производными и их компьютерная реализация.

 

Цели проекта
  • Проект посвящен разработке новых функциональных методов исследования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, и нелокальных задач, а также их применению к исследованию задач астрофизики, высокотемпературной плазмы и математической медицины.
Руководитель проекта Все участники
Скубачевский Александр Леонидович

Скубачевский Александр Леонидович

Директор математического института им. С.М. Никольского факультета физико-математических и естественных наук
Результаты проекта
Основные результаты
Получен ряд принципиально новых результатов в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных и их приложениях: разрешимость и регулярность начальных и начально-краевых задач в неограниченных областях для уравнения Кортевега – де Фриза и уравнения Захарова – Кузнецова; существование монотонных волновых фронтов для общего семейства бистабильных уравнений типа реакции-диффузии с запаздыванием в нелинейном слагаемом, отвечающем за реакцию; разрешимость задачи Дирихле для эллиптического функционально-дифференциального уравнения, содержащего сдвиги и сжатие аргумента. Получено существенное продвижение в решении известной проблемы Като о квадратном корне из регулярно аккретивного оператора. Задачи, исследованные в проекте, связаны тем, что большинство их являются нелокальными. При этом нелокальные члены могут присутствовать как в уравнениях, так и в краевых условиях.
Изучено существование монотонных волновых фронтов для общего семейства бистабильных уравнений реакции-диффузии с запаздывающим членом реакции g. В отличие от в предыдущих исследований, не предполагается монотонность g (u, v) относительно запаздывания переменной v, что не позволяет применять методы сравнения.
Для двух разных типов v-унимодальных функций g (u, v) установлены существование максимального непрерывного семейства бистабильных монотонных волновых фронтов. В зависимости от типа унимодальности (эквивалентно, по знаку скорости волны), два разных сценария могут наблюдаться для полученных бистабильных волн: (1) независимо от величины запаздывания каждый бистабильный волновой фронт монотонен; (2) волновые фронты являются монотонными для небольших запаздываний, и могут осциллировать в случае больших запаздываний. Исследовано существование бегущих волн для бистабильной реакционно-диффузионной системы уравнений с линейными интегральными членами (дисперсией) и с некоторыми условиями на нелинейность. Доказательство основано на методе Лере-Шаудера с использованием теории топологической степени для фредгольмовых и собственных операторов с нулевым индексом и априорных оценках решений в подходящих весовых пространствах.
Доказана гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов второго порядка с вырождением в ограниченной области.
Исследована разрешимость задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения, содержащего под знаком оператора Лапласа члены со сжатиями и сдвигами независимой переменной, в зависимости от коэффициентов при этих членах. Получены условия однозначной разрешимости в пространствах Соболева, а также продемонстрирован эффект появления бесконечномерного многообразия решений.
Выведена формула объема неевклидова октаэдра, обладающего 4|m-симметрией. Получен критерий существования гиперболического и сферического 4|m-октаэдра. Исследована возможность выражения объема четырехмерного гиперболического симплекса через элементарные функции от длин его ребер.
Получены результаты о существовании и единственности решений начальных и начально-краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза в бесконечных областях в случаях малых начальных данных или малых интервалов времени. Получены результаты о глобальной корректности решений начально-краевых задач для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова в полуполосе с различными типами граничных условий.
Построен символ операторов, ассоциированных с группами Ли квантованных канонических преобразований. Установлена фредгольмовость эллиптических G-операторов.
Получены условия, при которых следы квантованного канонического преобразования на подмногообразии сами являются квантованными каноническими преобразованиями.
Получена версия леммы Зарембы-Хопфа-Олейник о граничной точке для общих эллиптических и параболических уравнений в дивергентной форме при оптимальных (близких к необходимым) ограничениях на коэффициенты уравнений и границы областей.
Найдены условия, при которых произведение в виде G-коммутатора превращает линейное пространство дифференцируемых по Гато операторов в Ли-допустимую алгебру. Установлена взаимосвязь между указанными алгебрами, симметриями операторных уравнений и механикой бесконечномерных систем.
Рассмотрена краевая задача для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами пространственных переменных в старших членах. Построено специальное разбиение области, индуцированное разностным оператором. Получены условия существования гладких решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Построены контрпримеры, показывающие, что решение может иметь всюду плотное в области множество точек разрыва первой производной.
Исследована модификация известного метода тест-функций, направленная на исследование некоторых новых классов нелинейных неравенств и систем с дробными степенями лапласиана. Получены достаточные условия единственности тривиального решения, основанные на оценках для дробного лапласиана, для случая эллиптических неравенств, систем таких неравенств, и соответствующих параболических задач.
Получены асимптотические разложения пространственно дискретных двумерных тепловых ядер (функций Грина оператора теплопроводности на решетках) по степеням переменной времени с точностью до произвольного заданного порядка. Получены оценки для остатка, равномерных по всей решетке.
Для квазилинейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сверточными членами найдены достаточные условия отсутствия глобальных решений.
Показано, что формула следов Лифшица – Крейна не обобщается на случай пар некоммутирующих самосопряжённых операторов. Показано, что при p>2 существуют две пары некоммутирующих самосопряжённых операторов такие, что их разность входит в класс Шаттена фон Неймана Sp и существует функция класса Бесова с индексами бесконечность, 1, 1 такая, что разность функций от пар этих операторов не входит в Sp.
Интегралы типа Меллина–Барнса и типа Эйлера применены для получения аналитического продолжения функции Лауричеллы в окрестности ее особых многообразий. Исследована сходимость многомерных гипергеометрических рядов, с помощью которых выписываются формулы аналитического продолжения этой функции по всем переменным в N-мерное комплексное пространство, а также разработан вычислительный алгоритм, позволяющий эффективно вычислять такие ряды. Разработанный алгоритм применен к высокоточному вычислению емкостей и других конформных инвариантов сложных областей, ограниченных многоугольными контурами.
Область исследования
  • Решение задач основано на применении методов функционального анализа в сочетании с исследованием специальных свойств операторов, входящих в уравнение и краевые условия: нелинейных дифференциальных операторов, операторов сдвига и сжатия аргумента, оператора свертки. Результаты исследования находят применение в математической медицине, проблемах механики и астрофизики. Полученные результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при разработке постановок новых задач для будущих научно-исследовательских проектов, аспирантов направления «Математика и механика», дипломных работ студентов направления «Математика», «Прикладная математика и информатика».
Партнеры

Страна партнера

США

О партнере

Университет штата Мичиган (англ. Michigan State University, MSU) — государственный университет в США. В университете насчитывается более 200 академических программ. Программы по ядерной физике, инженерному делу, политологии, бизнесу, журналистике, образованию и остеопатии считаются одними из лучших в США.

Страна партнера

Россия

О партнере

Московский физико-технический институт (Физтех) - один из ведущих вузов страны. МФТИ входит в основные рейтинги лучших университетов мира. Институт обладает не только богатой историей – его основателями и профессорами были Нобелевские лауреаты Пётр Капица, Лев Ландау и Николай Семенов – но и большой научно-исследовательской базой.

Страна партнера

Россия

О партнере

Вычислительный центр РАН — научно-исследовательский институт Российской академии наук в области вычислительных методов, математического моделирования, математического и программного обеспечения ЭВМ, а также приложений компьютерных технологий к различным областям науки и техники.

Страна партнера

Франция

О партнере

Национальный центр научных исследований (НЦНИ) Франции (фр. Centre National de la Recherche Scientifique, CNRS) — ведущее государственное научное учреждение Франции.