Функционально-аналитические методы исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений в частных производных

Функционально-аналитические методы исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений в частных производных

Основная идея проекта - исследование новых классов дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, неравенств и систем и применение полученных результатов к междисциплинарным исследованиям в математических моделях физических и биологических процессов.

Команда проекта исследует нелокальные уравнения и уравнения реакции с запаздыванием, возникающие в биомедицине, включая иммунологию и неврологию. Предполагается получить новые решения энергетической подстановкой в условиях квазинейтральности для уравнений Власова-Пуассона и Власова-Максвелла.


Перечень РИД по проекту

  • A.L. Skubachevskii, A.Sh. Adkhamova. Damping Problem for a Neutral Control System with Delay. Doklady Mathematics (Q2) DOI: 10.31857/S2686954320010038
  • A. Savin, E. Schrohe. Analytic and algebraic indices of elliptic operators associated with discrete groups of quantized canonical transformations. J. Funct. Anal. 278 (2020), no. 5, 108400, 45 pp. (Q1) https://doi.org/10.1016/j.jfa.2019.108400
  • N. Bessonov, G. Bocharov, A. Meyerhans, V. Popov, V. Volpert. Nonlocal reaction-diffusion model of viral evolution: emergence of virus strains. Mathematics (Q1) doi:10.3390/math8010117
  • V. A. Derkach, S. Hassi, M.M. Malamud. Generalized boundary triples, I. Some classes of isometric and unitary boundary pairs and realization problems for subclasses of Nevanlinna functions. Math. Nachr. (Q1) DOI: 10.1002/mana.201800300
Цели проекта
  • Построить теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиями, т.е. преобразованиями, включающими как сдвиги, так и сжатия независимых переменных.
  • Исследовать аналитические и топологические аспекты теории нелокальных эллиптических операторов.
  • Исследовать связь матрицы рассеяния пары самосопряженных операторов, разность резольвент которых имеет конечный порядок, но не является ядерной. Получить аналог принципа инвариантности Бирмана-Като в рассматриваемой ситуации. Исследовать связь этой формулы с формулами следов.
  • Исследовать начально-краевые задачи для различных классов полулинейных и квазилинейных параболических уравнений структуры линейной и нелинейной диффузии – вырождающейся на различных многообразиях нелинейной абсорбции с сингулярными граничными или начальными данными.
Руководитель проекта Все участники
Вольперт Виталий Айзикович

Вольперт Виталий Айзикович

Доктор физико-математических наук, профессор
Результаты проекта
Локальные и нелокальные уравнения реакции-диффузии использованы для моделирования мутации вируса в пространстве генотипов. Исследовано существование различных типов решений, характеризующих устойчивость и эволюцию штаммов вируса. Динамика таких решений определяет появление новых штаммов, устойчивость к лечению и другие свойства.
Выполнена редукция уравнения Власова-Пуассона к эллиптическим уравнениям энергетической подстановкой и получение общего решения в условиях квазинейтральности. Выведены различные формы уравнений Власова-Максвелла Эйнштейна и их гидродинамические следствия. Доказана теорема о совпадении временных средних с экстремалями Больцмана и изучены её следствия.
Рассматривается задача Дирихле для эллиптического и сильно эллиптического уравнения второго порядка с аффинными преобразованиями аргументов старших производных неизвестной функции. Получены алгебраические условия однозначной и фредгольмовой разрешимости, выраженных при помощи характеристических функций присутствующих в уравнении мер.
Доказаны теоремы о гладкости для операторов, ассоциированных с диффеоморфизмами Морса-Смейла, теоремы о гладкости и формулы индекса для операторов, ассоциированных с метаплектической группой.
Найдена формула, выражающая функцию Вейля степени симметрического оператора с бесконечными индексами дефекта, через функцию Вейля самого симметрического оператора. Базируясь на этой формуле, доказан аналог принципа инвариантности Бирмана-Като для матриц рассеяния.
Получены формулы следов для нормальных операторов, формулы следов для не операторно-липшицевых функций, характеризация класса операторно-липшицевых функций в терминах разделённых разностей по каждой переменной.
Доказаны теоремы существования решений в пространствах Соболева для линейных и квазилинейных стационарных и нестационарных недивергентных уравнений с краевым условием Вентцеля. Предполагается, что старшие коэффициенты и в уравнении, и в граничном условии разрывны.