Нелокальные краевые задачи: теория индекса и квазиклассические асимптотики

Нелокальные краевые задачи: теория индекса и квазиклассические асимптотики

Нелокальные задачи возникают во многих областях математики, а также в ее приложениях к науке и технике. В данном проекте мы сосредоточимся на нелокальных краевых задачах, связанных с действиями групп на многообразиях.  Рассматривается задача об исследовании нелокальных эллиптических задач, а именно, необходимо получить понятие символа, доказать фредгольмовость эллиптических задач, получить гомотопическую классификацию и предъявить формулы индекса для новых классов таких задач.

Кроме этого, случай гиперболических уравнений (или, более общо, уравнений с вещественными характеристиками) остается практически не исследованным в случае нелокальных задач, главным образом из-за сложности предмета. Здесь задача состоит в том, чтобы расширить существующие и хорошо зарекомендовавшие себя для локальных задач методы, такие как интегральные операторы Фурье и канонический оператор Маслова, чтобы охватить нелокальные краевые задачи рассматриваемых здесь типов.

Цели проекта
  • Изучаются эллиптические и гиперболические нелокальные краевые задачи, связанные с действиями групп в неинвариантном случае, когда действие не сохраняет границу. Наша цель - изучить как аналитические аспекты теории (ввести понятие эллиптичности, доказать фредгольмовость эллиптических элементов), так и применить методы топологии и некоммутативной геометрии для получения формул индекса. Важную роль играет разбиение многообразия с краем на части образами границы при диффеоморфизмах, задаваемых действием группы. Это разбиение рассматривается как многообразие с особенностями, и мы собираемся применить к нашей задаче методы сингулярного анализа. Для изучения гиперболических нелокальных краевых задач мы будем использовать квазиклассические методы.
Руководитель проекта Все участники
Савин Антон Юрьевич

Савин Антон Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор Математического института им. С. М. Никольского
Область исследования
  • Результаты будут применены для нахождения квазиклассических асимптотик решений нелокальных гиперболических задач. Они имеют важное значение как в теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и в некоммутативной геометрии и глобальном анализе. Полученные результаты могут быть также применены при исследовании нелокальных краевых задач, возникающих в механике.
Партнеры

Страна партнера

Германия

О партнере

Начало сотрудничества: 2011