Скубачевский Александр Леонидович
Доктор физико-математических наук
Профессор, Научный руководитель,
математический институт имени С.М. Никольского
Заниматься наукой в любых условиях.
1970
Поступил в Московский авиационный институт (МАИ). Был Ленинским стипендиатом. Начиная с 3-го курса активно занимался качественной теорией дифференциальных уравнений.
1974
Решил задачу о существовании неограниченных колеблющихся решений функционально-дифференциального уравнения 2-го порядка, которая ранее была сформулирована как нерешенная проблема. Будучи студентом, опубликовал 3 научных работы.
1976
Окончил институт с отличием и поступил в аспирантуру факультета «Прикладная математика».
1979
Окончил аспирантуру и работал на том же факультете ассистентом, старшим преподавателем, доцентом.
1980
Защитил кандидатскую диссертацию «Краевые задачи для эллиптических уравнений с отклоняющимися аргументами в старших членах».
1987
Защитил докторскую диссертацию по теме «Нелокальные эллиптические краевые задачи», Математический институт им. В. А. Стеклова Академии наук СССР, специальность «Дифференциальные уравнения».
1990
Получил звание профессора.
1988-2005
Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений в Московском авиационном институте.
1997
Награжден медалью 850 лет Москвы.
2005-2015
Заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов (РУДН).
2010
Награжден нагрудным знаком «За заслуги в развитии науки республики Казахстан».
2012
Победитель Второго Всероссийского конкурса научно-методического совета по математике Министерства образования и науки Российской Федерации «Лучшее учебное издание по математике» (учебное пособие «Нелокальные краевые задачи и их приложения к исследованию многомерных диффузионных процессов и процессов терморегуляции живых клеток».
2013
Награжден грамотой Министерства образования и науки за достижения в образовании и подготовке кадров высшей квалификации.
2016
Получил премию им. И.Г. Петровского Российской академии наук за цикл работ «Неклассические краевые задачи».
2015-2018
Заведующий кафедрой прикладной математики РУДН.
2018-н.в.
Директор Математического института им. С.М. Никольского.
Преподавание
- Разработчик учебных курсов, по которым были созданы следующие учебные пособия на английском языке:
- Nonlocal Boundary Value Problems and Functional Differential Equations Part I: Boundary Value Problems for Differential-Difference Equations. Москва, РУДН, 2013, с. 1-199.
- Nonlocal Boundary Value Problems and Functional Differential Equations Part III: Nonlocal Elliptic Boundary Value Problems. Москва, РУДН, 2014, с. 1−241.
- С 1979 по 2005 гг. преподавал на кафедре дифференциальных уравнений, Московский Авиационный институт (МАИ). Читал такие курсы, как:
- «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (специальность «Системы автоматического управления»),
- «Уравнения математической физики» (специальность «Прикладная математика и информатика»),
- «Функциональный анализ» (специальность «Системы автоматического управления»),
- «Линейная алгебра» (специальность «Системы автоматического управления»),
- «Математический анализ» (специальность «Прикладная математика и информатика»),
- «Теория функций комплексного переменного» (специальность «Системы автоматического управления»).
- Во время работы в МАИ были разработаны следующие специальные курсы:
- «Нелокальные эллиптические краевые задачи» (специальность «Прикладная математика и информатика»),
- «Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений» (специальность «Прикладная математика и информатика»).
- В РУДН разработал и читает авторский курс для студентов бакалавриата :
- «Уравнения математической физики» ( направления «Математика», «Прикладная математика и информатика»)
- Выпустил 15 кандидатов наук и 3 докторов наук.
- В качестве приглашенного профессора по программе Меркатор Немецкого научного фонда (DFD) читал курсы лекций для немецких профессоров и аспирантов Университета им. Юстуса Либига (г. Гиссен, Германия, Justus Liebig University Giessen):
- «Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения» (1999-2000гг.)
- «Нелокальные эллиптические задачи» (2002-2003гг.)
Наука
- Решил задачу о существовании неограниченных колеблющихся решений функционально-дифференциального уравнения 2-го порядка, которая ранее была сформулирована как нерешенная проблема. Полученные результаты могут быть использованы в построении общей теории осцилляции функционально-дифференциальных уравнений.
- Создал теорию краевых задач для эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений. Построенная теория позволяет исследовать упругие деформации трехслойных пластин и оболочек с гофрированным заполнителем, применяющихся в авиации и космонавтике. Им было доказано, что регулярный разностный оператор осуществляет изоморфизм подпространства Соболева первого порядка с однородными условиями Дирихле на подпространство Соболева первого порядка с нелокальными краевыми условиями. Этот результат позволил применить теорию эллиптических дифференциально-разностных уравнений к исследованию спектральных свойств нелокальных эллиптических краевых задач. Получил новые условия возникновения автоколебаний в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью, используя свои результаты, посвященные квазилинейным параболическим функционально-дифференциальным уравнениям. Результаты, полученные для эллиптических функционально-дифференциальных операторов, позволили доказать, что сильно эллиптические функционально-дифференциальные операторы и эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением удовлетворяют гипотезе Като о квадратном корне из оператора.
- Впервые построил общую теорию эллиптических задач с нелокальными условиями. Вопрос о разрешимости таких задач был сформулирован в литературе как нерешенная задача. Разработал метод исследования разрешимости нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева и в весовых пространствах, применимый для различных случаев структуры нелокальных членов, и получил асимптотику решений вблизи точек сингулярности. Применил теорию нелокальных эллиптических задач к решению известной проблемы о существовании полугрупп Феллера, возникающей в теории многомерных диффузионных процессов.
- Исследовал разрешимость и гладкость обобщенных решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений одной переменной в несамосопряженном случае. Полученные результаты позволили обобщить теорему Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием на случай уравнений нейтрального типа.
- Совместно с известным немецким профессором Ханс-Отто Вальтером получил достаточные условия гиперболичности периодических решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Эти результаты имеют важное применение в исследовании устойчивости периодических решений нелинейных систем управления с последействием.
- Впервые получил достаточные условия существования классических решений смешанных задач для системы уравнений Власова-Пуассона, описывающей кинетику высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе. Получил явную оценку времени удержания плазмы.
Moнографии:
- A.L.Skubachevskii Elliptic Functional Differential Equations and Applications// Birkhäuser: Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser Verlag, 1997. 293 p.
- Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи I. Журнал «Современная математика. Фундаментальные направления». М.: Изд-во РУДН, 2007. 26. С. 3–132; Неклассические краевые задачи II. Журнал «Современная математика. Фундаментальные направления». М.: Изд-во РУДН, 2009. 33. С. 3–179.
Научные интересы
- Осцилляция решений функционально-дифференциальных уравнений.
- Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений.
- Теория управления системами с последействием.
- Краевые задачи для эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений.
- Многослойные пластины и оболочки.
- Автоколебания нелинейных лазерных систем с обратной связью.
- Задачи автоматического термоконтроля с гистерезисом.
- Нелокальные эллиптические краевые задачи.
- Полугруппы Феллера.
- Проблема Като о квадратном корне из оператора.
- Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона.
Belyaeva Yu. O., Björn G., Skubachevskii A. L. A general way to confined stationary Vlasov-Poisson plasma configurations // Kinetics and Related Models, Vol. 14, No. 2, 2021, pp. 257-282, doi: 10.3934/krm.2021004
Рассматривается существование стационарных решений системы Власова-Пуассона, описывающей высокотемпературную плазму, которая, благодаря внешнему магнитному полю, находится строго внутри вакуумной камеры термоядерного реактора. В первой части доказывается существование таких решений для обобщенной системы типа Власова-Пуассона и исследуется связь между напряженностью внешнего магнитного поля, используемого для удержания, и суммарным электрическим зарядом. Ключевыми инструментами здесь являются метод суб-/суперрешений и использование первых интегралов в сочетании со срезающими функциями. Во второй части эти результаты применены к обычному уравнению Власова-Пуассона в трех различных областях: бесконечный и конечный цилиндр, а также области с тороидальной симметрией. Таким образом, доказывается существование стационарных решений, соответствующих двухкомпонентной плазме, заключенной в пробочную ловушку и Токамак.
Рассматриваются смешанные краевые задачи для произвольных сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений второго порядка и нелокальные смешанные задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в цилиндре. Установлена взаимосвязь указанных задач, а также их однозначная разрешимость.
Рассматриваются сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения, имеющие вид произведения лапласиана и разностного оператора, со смешанными краевыми условиями в цилиндрической области. Показана взаимосвязь таких задач с нелокальными смешанными задачами для сильно эллиптических дифференциальных уравнений, а также их однозначная разрешимость.
Рассматривается система управления, описываемая системой дифференциальных уравнений нейтрального типа с переменными матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Показана связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающей многомерную систему управления с запаздываниями, и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения краевой задачи.
Рассматриваются эллиптические дифференциально-разностные операторы второго порядка с вырождением в цилиндре. Доказано, что эти операторы удовлетворяют гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора.
В работе рассматриваются эллиптические дифференциально-разностные операторы второго порядка с вырождением в цилиндре, ассоциированные с замкнутыми, плотно определёнными, секториальными полуторалинейными формами в L_2(Q). Доказано, что эти операторы удовлетворяют гипотезе Като о квадратном корне из оператора.
В данной работе рассматривается разрешимость нелокальных эллиптических задач в бесконечном цилиндре в весовом пространстве и пространстве Гёльдера. Интерес к этой формулировке мотивирован приложениями к управляемому термоядерному синтезу в магнитных ловушках, имеющих форму длинного цилиндра.
Рассматриваются эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением в ограниченной области с кусочно-гладкой границей. Доказано, что эти операторы являются регулярно аккретивными и удовлетворяют гипотезе Като о квадратном корне из оператора.
Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова–Пуассона в бесконечном цилиндре. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц в высокотемпературной плазме. Показано, что характеристики уравнений Власова не пересекают границу цилиндра, если внешнее магнитное поле достаточно велико. Получены новые достаточные условия существования и единственности классического решения системы уравнений Власова–Пуассона с носителями плотностей распределения ионов и электронов, лежащими на некотором расстоянии от границы цилиндра.
Рассматривается первая смешанная задача для системы Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре. Эта задача описывает кинетику заряженных частиц в высокотемпературной двухкомпонентной плазме под действием внешнего магнитного поля. Для произвольного потенциала электрического поля и достаточно сильного внешнего магнитного поля показано, что характеристики уравнений Власова не достигают границы цилиндра. Доказано, что система Власова-Пуассона с функциями плотности распределения ионов и электронов, имеющими носители строго внутри цилиндра, имеет единственное классическое решение.
Рассматривается регулярный разностный оператор с переменными коэффициентами в ограниченной области. Доказано, что этот оператор непрерывно и биективно отображает пространство Соболева порядка k с однородными граничными условиями Дирихле в подпространство пространства Соболева порядка k с нелокальными граничными условиями на сдвигах границы. Это позволяет применить результаты, полученные для нелокальных эллиптических задач, к исследованию эллиптических дифференциально-разностных уравнений.
Skubachevskii A. L. Elliptic differential-difference operators with degeneration and the Kato square root problem // Math. Nachr., Vol. 291, No. 17-18, 2018, pp. 2660-2692. DOI:10.1002/mana.201700475
Доказана справедливость гипотезы Като о квадратном корне из оператора для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением.
Рассматривается упругая система, состоящая из двух соосных цилиндрических оболочек, соединенных гофрированным заполнителем. Используя вариационный принцип, эта модель сводится к краевой задаче для сильно эллиптической системы дифференциально-разностных уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения указанной задачи, гладкость обобщенного решения и сходимость метода Ритца.
Рассматривается первая смешанная задача для уравнений Власова–Пуассона с внешним магнитным полем в полупространстве. Эта задача описывает эволюцию плотностей распределения ионов и электронов в высокотемпературной плазме с заданным потенциалом электрического поля на границе. Показано, что для произвольного потенциала электрического поля и достаточно большой индукции внешнего магнитного поля характеристики уравнений Власова не достигают границы полупространства. Для достаточно малых начальных плотностей распределения заряженных частиц доказано существование и единственность классического решения с носителями плотностей распределения заряженных частиц, лежащими на некотором расстоянии от границы.
Рассмотрена задача успокоения для системы управления с запаздыванием, описываемая системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа, и установлена взаимосвязь вариационной задачи для нелокальных функционалов и соответствующей краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений. Доказано существование и единственность обобщенного решения краевой задачи для этой системы дифференциально-разностных уравнений.
Skubachevskii A. L., Tsuzuki Y. Vlasov-Poisson equations for a two-component plasma in a half-space // Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk, Vol. 471, No. 5, 2016, pp. 528-530.
Рассмотрены уравнения Власова-Пуассона для двухкомпонентной высокотемпературной плазмы с внешним магнитным полем в полупространстве. Потенциал электрического поля удовлетворяет условию Дирихле на границе, а начальные распределения плотности заряженных частиц удовлетворяют условиям Коши. Получены достаточные условия для индукции внешнего магнитного поля и начальных распределений плотности заряженных частиц, гарантирующие существование классического решения, для которого носители распределений плотности заряженных частиц расположены на некотором расстоянии от границы.
Рассматривается однозначная разрешимость нелокальных эллиптических задач в бесконечном цилиндре в весовых пространствах и в пространствах Гельдера. Эти результаты позволяют доказать существование и единственность классических решений уравнений Власова-Пуассона с нелокальными условиями в бесконечном цилиндре при достаточно малых начальных данных.
Л. Е. Россовский, А. Л. Скубачевский Введение в теорию дифференциальных уравнений с частными производными // МЦНМО, 2021.
Настоящий учебник по уравнениям с частными производными имеет небольшой объём и предназначен для первого знакомства с предметом. Его отличает сочетание современного языка и строгости с доступностью и единым подходом к изложению материала, основанным на использовании пространств Соболева и понятии обобщенного решения. Книга может стать незаменимым помощником третьекурсникам и основным учебником по уравнениям с частными производными для студентов, обучающихся по направлениям «Математика» и «Прикладная математика и информатика».
В настоящей работе исследуется гладкость обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений на границе соседних подобластей.
Рассматриваются уравнения Власова–Пуассона с внешним магнитным полем в бесконечном цилиндре для двухкомпонентной высокотемпературной плазмы с начальными условиями для плотностей распределения заряженных частиц и нелокальным краевым условием для потенциала электрического поля. Для достаточно малых начальных плотностей распределения доказаны существование и единственность классического решения с носителями плотностей распределения заряженных частиц, лежащими в некотором внутреннем цилиндре.