Алгоритмическая линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений – новый подход
Алгоритмическая линеаризация обыкновенных дифференциальных уравнений – новый подход
Математическое моделирование многих процессов в биологии, химии, экономике, физике и других науках невозможно без решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Подобные уравнения чаще всего содержат нелинейную зависимость от неизвестной функции и ее производных различных порядков (n>1), что сильно затрудняет их исследование и решение.

Задача проверки линеаризуемости нелинейных ОДУ состоит в выяснении: существует ли обратимое преобразование искомой функции и ее аргумента к новым переменным, причем такого, что преобразованное уравнение становится линейным. Найти решение линейного уравнения несравненно проще. Если такое преобразование существует и если его удастся найти, то решение полученного линейного уравнения можно преобразовать в решение уравнения исходного. Много десятилетий задача по проверке линеаризуемости обыкновенных дифференциальных уравнений выше четвертого порядка оставалась нерешенной.

Алгоритмическое решение задачи проверки линеаризуемости, а в случае положительного результата проверки, и построения линеаризующего преобразования с программной реализацией на языке Maple было впервые получено директором научного центра вычислительных методов в прикладной математике РУДН Владимиром Гердтом и его коллегами.

История вопроса

В конце XIX века знаменитый норвежский математик Софус Ли разработал наиболее общий математический подход к исследованию и решению дифференциальных уравнений с помощью их группового (симметрийного) анализа. Он основан на математическом аппарате, в основе которого лежит введенное им понятие групп Ли. Одной из фундаментальных задач, поставленных С. Ли, была разработка теста линеаризуемости нелинейных общих дифференциальных уравнений точечными обратимыми преобразованиями. Положительный результат теста значительно облегчает построение аналитического решения. Сам Софус Ли установил общую форму уравнений второго порядка (n = 2), допускающих линеаризацию. В XXI веке при ведущем вкладе российской математической школы результаты С. Ли по нахождению общей формы линеаризуемых уравнений были обобщены на уравнения порядка n = 3 и 4. Однако полная задача линеаризации, включая нахождение линеаризующего преобразования даже для уравнений порядка 2-4, оставалась алгоритмически нерешенной.

Подробнее о новом решении рассказал доктор физико-математических наук, сотрудник РУДН Владимир Гердт.

Вы предлагаете два принципиально новых алгоритма линеаризуемости нелинейных ОДУ. Как они работают?

Да, оба алгоритма — принципиально новые. До нашей работы вообще не было разработано алгоритмов, которые для достаточно широкого круга нелинейных ОДУ отвечают на вопрос о линеаризуемости таких уравнений обратимыми точечными преобразованиями, то есть преобразованиями зависимой и независимой переменных.

Алгоритмы взаимосвязаны между собой? Их нужно применять последовательно?

Алгоритмы различны по своей математической природе. Первый — основан на групповом анализе исходного уравнения и является вычислительно быстрым. Он отвечает только на вопрос, существует ли линеаризующее преобразование. Однако алгоритм не позволяет находить такое преобразование, даже если оно существует.

Второй алгоритм более затратен по требуемым вычислениям, но при этом не только отвечает на указанный вопрос, но и строит уравнения на линеаризующее преобразование.

На практике лучше всего сначала применить первый алгоритм, и, если он покажет существование линеаризующего преобразования, применить второй алгоритм, чтобы его найти.

Как мы можем обозначить область практического применения результатов исследования? Где они могут быть использованы?

Эти алгоритмы могут быть использованы в любых научных и технических задачах, где возникает необходимость решения нелинейного ОДУ, в левой части которого стоит старшая производная (второго порядка и выше), а в правой — рациональное выражение (отношение многочленов) по младшим производным от неизвестной функции, включая саму эту функцию.

Ваша работа 2017 года получила награды высокого уровня: приз лучшей работы на крупнейшем мировом форуме по символьным и алгебраическим вычислениям (Кайзерслаутерн, Германия) и приз ISSAC Distinguished Paper Award by ACM SIGSAM. Поделитесь, пожалуйста, секретом успеха. Дело в новаторском подходе?

Наша работа произвела сильное впечатление на международное сообщество, поскольку впервые решенная нами задача была поставлена еще в 1883 году выдающимся математиком новежцем Софусом Ли. Конечно же, подход был новаторским, а второй из алгоритмов, который не только проверяет существование линеаризующего преобразования, но и строит его, основан на новом и полностью алгоритмическом методе дифференциальной декомпозиции Томаса. Это наиболее универсальный алгебраический метод исследования и решения систем полиномиально-нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. А именно такая система дифференциальных уравнений определяет линеаризующее преобразование.


Статьи Владимира Гердта:

  • V.P.Gerdt, D.A.Lyakhov, D.L.Michels (both KAUST, Thuwal, Kingdom of Saudi Arabia). Proceedings of ISSAC 2017, ACM Press, 2017, PP.285-292
  • D.A. Lyakhov, V.P. Gerdt, D.L. Michels. On the algorithmic linearizability of nonlinear ordinary differential equations, Journal of Symbolic Computation, V. 98, 2020, PP. 3-22)
Новости
Все новости
Наука
31 июля
«Это полновесное географическое открытие», – преподаватель РУДН Алексей Кучейко об открытии нового острова

О том, что на карте Арктики отметят новый остров, стало известно в конце июля. Землю за полярным кругом обнаружили школьники под руководством Алексея Кучейко — доцента департамента механики и мехатроники РУДН. Группа вела работу по спутниковым снимкам. Об открытии и о том, как новые острова открывают школьники — в интервью Алексея Кучейко.

Наука
30 июля
Химик РУДН предложил новый катализатор для синтеза топлива

Химик РУДН синтезировал принципиально новый катализатор фотоокисления муравьиной кислоты, которая считается наиболее перспективным источником водорода для топливных элементов. Катализатор на основе аморфного оксида титана — это новый инструмент для превращения муравьиной кислоты. Он позволит в перспективе отказаться от традиционных дорогостоящих катализаторов на основе палладия, платины и рутения.

Наука
28 июля
Химик РУДН синтезировал координационный полимер железа с производным никотиновой кислоты

Химик РУДН синтезировал трехмерный координационный полимер железа (II) — первое координационное соединение железа, собранное из замещенной никотиновой кислоты H2cpna. Это соединение можно использовать в производстве катализаторов, необходимых для окислительной функционализации насыщенных углеводородов — процесса, который необходим в переработке нефти.