Дифференциальные уравнения

Линейные и нелинейные дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения

Развитие новых качественных и геометрических методов исследования краевых задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, их применению к уравнениям Власова (кинетика высокотемпературной плазмы), проблеме Като о квадратном корне из оператора, математической биологии и математической медицине. В рамках исследования будут получены алгебраические условия однозначной разрешимости задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения с несоизмеримыми сжатиями, а также непрерывной зависимости решения от параметров сжатия. Планируется получение формул объема гиперболического 5-симплекса через координаты вершин и длин ребер, а также новые классы стационарных решений уравнений Власова-Пуассона.

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в ограниченных и неограниченных областях

Рассматриваются краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в ограниченных областях и полупространстве, а также эллиптические функционально-дифференциальные уравнения во всем пространстве R^n. Исследуется задача Дирихле в полупространстве для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, получены как необходимые, так и достаточные условия коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов в ограниченных областях, а также рассмотрены приложения указанных задач к проблеме Като о корне квадратном из оператора. Планируется доказательство гипотезы Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением и исследована разрешимость параболических задач для дифференциально-разностных уравнений в весовых пространствах. Область исследования: теория краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами аргументов в старших членах имеет важные приложения в теории многослойных пластин и оболочек, теории многомерных лазерных систем и теории управления.

Неклассические вариационные и краевые задачи и их приложения

Для исследования линейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений используют симметризованные матрицы, соответствующие разностным операторам, при этом кососимметричная составляющая не нарушает сильную эллиптичность линейного оператора и свойства гладкости обобщенных решений. Ранее были предложены критерии разрешимости нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, в которых разностные операторы описываются симметричными матрицами. Было показано, что в отличие от линейного случая для нелинейных задач кососимметричная часть влияет на эллиптичность. В данном проекте предлагается использовать разработанные ранее методы для исследования нелинейных эллиптических задач с разностными операторами, которым соответствуют треугольные матрицы. Рассматриваются линейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением с переменными коэффициентами. Для этих уравнений будет установлена связь с нелокальными эллиптическими краевыми задачами типа, а также исследован вопрос о существовании следов обобщенных решений на многообразиях, порожденных сдвигами границы внутрь области. Кроме того, рассматривается вопрос о спектральной устойчивости оператора Шредингера. Будут развиты и применены вариационно-гамильтоновые методы исследования качественных свойств движения бесконечномерных динамических систем. Планируется построить функционалы действия по Гамильтону для уравнений движения непотенциальных систем, включая дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения, а также найти первые интегралы этих уравнений, используя подходы, основанные на применении теории преобразования переменных для исследования инвариантности самих уравнений движения и соответствующих им функционалов.

Некоммутативная эллиптическая теория

Построение некоммутативной эллиптической теории для нового класса операторов, ассоциированных с представлением группы квантованными каноническими преобразованиями на различных многообразиях. Новые операторы представлены в трех видах: операторами на замкнутых многообразиях, относительной (некоммутативной) эллиптической теорией и некоммутативной эллиптической теорией на многообразиях с особенностями. Во всех случаях изучается фредгольмовость исследуемых операторов и предъявляются формулы индекса для них. Результаты проекта имеют приложения в теории обратных задач для гиперболических уравнений, теории динамических систем, а также в некоммутативной геометрии. Хэш-тэги: индекс, некоммутативная геометрия, относительная эллиптическая теория, фредгольмовость, квантовые канонические преобразования.