Нелокальные задачи и их применение в математической физике и математической медицине
Нелокальные задачи и их применение в математической физике и математической медицине
  1. Построение сферически симметричных стационарных решений системы уравнений Власова-Пуассона, описывающих стационарное распределение частиц в гравитационном поле. Получение достаточных условий удержания высокотемпературной плазмы в термоядерном реакторе типа «пробочная ловушка».
  2. Исследование реакционно-диффузионных волн, описывающих свертываемость крови и распространение инфекции. Построение математической модели динамики ВИЧ инфекции и исследование вопросов управляемости и стабилизации динамики инфекции.
  3. Исследование разрешимости начально-краевых задач, описывающих движение вязкоупругих сред.
  4. Изучение вопросов разрешимости, корректности, поведения решений при больших временах и управляемости начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка по пространственным переменным, в том числе уравнения Кавахары и Захарова-Кузнецова.
  5. Изучение связи матрицы рассеяния с функцией Вейля, характеристической функцией  несамосопряженного оператора и функцией спектрального сдвига. Построение теории краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с аффинными преобразованиями независимых переменных. Получение интегральных представлений и качественных свойств решений для задачи Дирихле в полуплоскости для эллиптических уравнений с нелокальным потенциалом.
  6. Исследование фредгольмовой разрешимости, построение топологических инвариантов символа эллиптических операторов, ассоциированных с группами квантованных канонических преобразований, включая операторы на компактных многообразиях, метаплектические операторы в Rn любой размерности, волновое уравнение с граничными условиями на конечном цилиндре. 
  7. Нахождение формулы следов для разности функций возмущённого нормального оператора и исходного нормального оператора.
  8. Установление взаимосвязи между  мультивариационностью,  первыми интегралами и интегральными инвариантами  заданных эволюционных задач с непотенциальными операторами.
  9. Доказательство теоремы об изоморфизме, порождаемом невырожденным разностным оператором с переменными коэффициентами в пространствах Соболева. Доказательство разрешимости задачи Н.Н. Крассовского о полном успокоении нестационарной  системы управления с последействием.
  10. Разработка и развитие эффективных аналитико-численных методов решения и исследования краевых задач для эллиптических уравнений и систем дифференциальных уравнений в сложных областях с геометрическими особенностями и квазиконформное отображение таких областей. Построение формул аналитического продолжения гипергеометрических функций типа Лауричеллы, развитие аналитико-численных методов конформного и гармонического отображения сложных областей и решение краевых задач в таких областях. Описание структуры формул, выражающих объемы гиперболических симплексов размерности 4 и 5 через координаты вершин, а также получение формулы объема сферического тетраэдра через координаты вершин.
  11. Моделирование распределения Гаусса и смешанного распределения Гаусса при наличии выбросов посредством глубинных нейронных сетей. Динамическое определение параметров нейронных сетей как решений системы дифференциальных уравнений.
  12. Разработка разностных схем для задач идентификации для уравнений с частными производными и их компьютерная реализация.
Цели проекта
  • Проект посвящен разработке новых функциональных методов исследования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и нелокальных задач и их применению к исследованию задач астрофизики, высокотемпературной плазмы и математической медицины.
Руководитель проекта Все участники
Скубачевский Александр Леонидович

Скубачевский Александр Леонидович

Доктор физико-математических наук, кандидат физико-математических наук, профессор (01.01.02 - дифференциальный уравнения, динамические системы и оптимальное управление)