Некоммутативная эллиптическая теория для действий групп на многообразиях

Некоммутативная эллиптическая теория для действий групп на многообразиях

Исследуется ряд взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп: их эллиптичность и гомотопические свойства, - устанавливаются формулы индекса. Для реализации этого проекта развиваются аналитические, геометрические и топологические методы, как классические, так и относящиеся к некоммутативной геометрии (А. Конн, А. Московичи, Р. Нест, Б. Цыган и др.), а также к грубой (coarse) геометрии (Н. Хигсон, Г.Ю, Дж. Роу). Более точно, некоммутативная эллиптическая теория исследуется в следующих геометрических ситуациях. 

  1. Задачи на некомпактных многообразиях с действием группы. Действие группы G на многообразии индуцирует представление группы операторами сдвига в пространстве функций на многообразии. Определена алгебра G-операторов, которая порождена (псевдо)дифференциальными операторами и операторами указанного представления. Эта ситуация включает в себя эллиптические задачи для квантовых графов, задачи на многообразиях с (поли)цилиндрическими и периодическими концами.
  2. Задачи в относительной эллиптической теории (задачи Соболева). Относительная эллиптическая теория есть теория, отвечающая паре, состоящей из замкнутого многообразия и подмногообразия в нём. В рамках этой теории рассматриваются задачи Соболева на основном многообразии, краевые условия которых определяются G-операторами. Здесь предполагается рассмотреть как случай дискретных групп G, так и групп Ли. Указанные задачи представляют собой новые классы задач Соболева с интегро-дифференциальными краевыми условиями.
Цели проекта
  • В предлагаемом проекте планируется исследование ряда взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп.
  • Исследуются фредгольмовость таких задач, их гомотопические свойства, устанавливаются формулы индекса.
  • Рассматриваются задачи на некомпактных многообразиях с действием группы.
  • В работах Б.Ю. Стернина и его школы была развита относительная эллиптическая теория, отвечающая паре, состоящей из многообразия и подмногообразия. В проекте исследуется связь этой теории с относительными когомологиями в топологии, устанавливается относительная теорема де Рама, исследуется относительная теория Ходжа. Ожидается, что результаты проекта будут иметь приложения в математической физике, в топологии неодносвязных многообразий и в теории С*-алгебр.
Руководитель проекта Все участники
Савин Антон Юрьевич

Савин Антон Юрьевич

Доктор физико-математических наук, профессор Математического института им. С. М. Никольского
Результаты проекта
Получены условия эллиптичности и формулы индекса для задачи Соболева с краевым условием, заданным разрешающим оператором для волнового уравнения, на подмногообразии.
Установлена теорема конечности для эллиптических комплексов в относительной эллиптической теории. Результаты применяются к относительному комплексу де Рама и устанавливается относительная теорема де Рама в ситуации гладкого подмногообразия.
Установлена гомотопическая классификация G-операторов для многообразий с цилиндрическими концами.
Область исследования
  • Результаты проекта имеют приложения в теории обратных задач для гиперболических уравнений, теории динамических систем, а также в некоммутативной геометрии.
Партнеры

Страна партнера

Россия

О партнере

Московский университет по праву считается старейшим российским университетом. Сегодня Московский университет — крупнейший классический университет России, в котором обучается более 45 тысяч человек из всех регионов страны (на разных формах обучения). В МГУ 40 факультетов (за последние 20 лет создан 21 факультет), 15 научно-исследовательских институтов, около 750 кафедр, отделов и лабораторий, Медицинский научно-образовательный центр.