Некоммутативная эллиптическая теория
Некоммутативная эллиптическая теория

Планируется исследование ряда взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп. Исследуются эллиптичность таких задач, их гомотопические свойства, устанавливаются формулы индекса. Для реализации этого проекта развиваются аналитические, геометрические и топологические методы, как классические, так и относящиеся к некоммутативной геометрии (А. Конн, А. Московичи, Р. Нест, Б. Цыган и др.), а также к грубой (coarse) геометрии (Н. Хигсон, Г.Ю, Дж. Роу). Более точно, некоммутативная эллиптическая теория исследуется в следующих геометрических ситуациях. 

  1. Задачи на некомпактных многообразиях с действием группы. Действие группы G на многообразии индуцирует представление группы операторами сдвига в пространстве функций на многообразии, и определена алгебра G-операторов, которая порождена (псевдо)дифференциальными операторами и операторами указанного представления. Эта ситуация включает в себя эллиптические задачи для квантовых графов, задачи на многообразиях с (поли)цилиндрическими и периодическими концами и др.
  2. Задачи в относительной эллиптической теории (задачи Соболева). Относительная эллиптическая теория есть теория, отвечающая паре, состоящей из замкнутого многообразия и подмногообразия в нём. В рамках этой теории рассматриваются задачи Соболева на основном многообразии, краевые условия которых определяются G-операторами. Здесь предполагается рассмотреть как случай дискретных групп G, так и групп Ли. Указанные задачи представляют собой новые классы задач Соболева с интегро-дифференциальными краевыми условиями.
Цели проекта
  • В предлагаемом проекте планируется исследование ряда взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп.
  • Исследуются фредгольмовость таких задач, их гомотопические свойства, устанавливаются формулы индекса.
  • Рассматриваются задачи на некомпактных многообразиях с действием группы.
  • В работах Б.Ю. Стернина и его школы была развита относительная эллиптическая теория, отвечающая паре, состоящей из многообразия и подмногообразия. В проекте исследуется связь этой теории с относительными когомологиями в топологии, устанавливается относительная теорема де Рама, исследуется относительная теория Ходжа. Ожидается, что результаты проекта будут иметь приложения в математической физике, в топологии неодносвязных многообразий и в теории С*-алгебр.
Руководитель проекта Все участники
Савин Антон Юрьевич

Савин Антон Юрьевич

Доктор физико-математических наук, кандидат физико-математических наук (01.01.02 - дифференциальный уравнения, динамические системы и оптимальное управление)
Область исследования
  • Результаты, которые получаются в ходе выполнения проекта, имеют приложения в теории обратных задач для гиперболических уравнений, теории динамических систем, а также в некоммутативной геометрии.
Партнеры

Местоположение

Москва, Россия