Исследуется ряд взаимосвязанных задач современной теории эллиптических операторов на многообразиях с действиями групп: их эллиптичность и гомотопические свойства, - устанавливаются формулы индекса. Для реализации этого проекта развиваются аналитические, геометрические и топологические методы, как классические, так и относящиеся к некоммутативной геометрии (А. Конн, А. Московичи, Р. Нест, Б. Цыган и др.), а также к грубой (coarse) геометрии (Н. Хигсон, Г.Ю, Дж. Роу). Более точно, некоммутативная эллиптическая теория исследуется в следующих геометрических ситуациях.
- Задачи на некомпактных многообразиях с действием группы. Действие группы G на многообразии индуцирует представление группы операторами сдвига в пространстве функций на многообразии. Определена алгебра G-операторов, которая порождена (псевдо)дифференциальными операторами и операторами указанного представления. Эта ситуация включает в себя эллиптические задачи для квантовых графов, задачи на многообразиях с (поли)цилиндрическими и периодическими концами.
- Задачи в относительной эллиптической теории (задачи Соболева). Относительная эллиптическая теория есть теория, отвечающая паре, состоящей из замкнутого многообразия и подмногообразия в нём. В рамках этой теории рассматриваются задачи Соболева на основном многообразии, краевые условия которых определяются G-операторами. Здесь предполагается рассмотреть как случай дискретных групп G, так и групп Ли. Указанные задачи представляют собой новые классы задач Соболева с интегро-дифференциальными краевыми условиями.
