Краевые и смешанные задачи для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Краевые и смешанные задачи для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентной плазмы в области с границей (полупространство, бесконечный цилиндр). Эта задача описывает эволюцию функций распределения ионов и электронов в высокотемпературной плазме при наличии внешнего магнитного поля.

Будет рассмотрен вопрос о существовании стационарных решений этой задачи с ненулевым потенциалом самосогласованного электрического поля. Будет показано, что в некоторой окрестности стационарного решения системы с нулевым потенциалом и компактными носителями функций распределения существуют стационарные решения с ненулевым потенциалом.

Одним из важных направлений проекта – развитие методов исследования функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений: изучение корректной разрешимости начально-краевых задач, спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами этих уравнений с использованием спектральной теории линейных операторов и теории операторных пучков, а также применение теории полугрупп.

Планируется изучение функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовых и банаховых пространствах, являющихся операторными моделями уравнений, возникающих в многочисленных приложениях: теория вязкоупругости, теплофизика, динамика многофазных сред.

Будут исследованы и доказаны разрешимость и гладкость обобщенных решений задачи Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием, описываемой краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений.

Будут рассматриваться смешанные краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Предполагается доказать теоремы об однозначной и фредгольмовой разрешимости таких задач, секториальной структуре и дискретности спектра соответствующих операторов, а также о гладкости обобщенных решений в некоторых подобластях. Будет доказано, что сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы со смешанными краевыми условиями удовлетворяют известной гипотезе Т.Като о квадратном корне из оператора.

Функционально-дифференциальные уравнения с аффинными преобразованиями независимого переменного, обобщающие хорошо известное уравнение пантографа, находят применения в самых разных областях: астрофизике, нелинейных колебаниях, биологии, теории чисел, теории вероятностей. Будут изучены многомерные аналоги этих уравнений.

Обобщенные решения задачи Дирихле для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих старшие части преобразования ортотропного сжатия могут иметь степенные особенности, поэтому, естественно исследовать разрешимость такой задачи в пространствах с весом, индуцированным оператором сжатия.

Будут исследоваться разрешимость и гладкость обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов.

В настоящее время качественные свойства глобальных решений уравнений с нелокальными членами главным образом исследованы для дифференциально-разностных уравнений и уравнений с операторами сжатия/растяжения независимой переменной. Для дифференциально-сверточных уравнений и многомерных дифференциально-разностных уравнений, возникающих в различных приложениях, не покрываемых классическими моделями математической физики, указанные качественные свойства практически не изучены. Ожидается получение интегральных представлений решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, достаточных условий отсутствия глобальных решений квазилинейных уравнений и неравенств с нелокальными членами, а также априорных оценок решений функционально-дифференциальных уравнений и нелокальных задач с данными-мерами.

Настоящий проект предлагается к рассмотрению как математический проект, однако следует заметить, что предлагаемые темы исследований имеют широкие приложения в механике и физике. При создании эффективных моделей сильнонеоднородных сред, составленных из фаз с различными реологическими свойствами, часто в соответствующих уравнениях возникают нелокальные слагаемые типа свертки. Подобные системы используются в моделях вязкоупругих сред, некоторые нестандартные модели теплопроводности с конечной скоростью распространения тепла также содержат упомянутые члены типа свертки. Интересной областью приложений является теория колебаний трубопроводов с движущейся вязкой жидкостью: там возникают дифференциальные уравнения высокого порядка с дополнительными нелокальными членами типа свертки.

Исследование задачи Н.Н Красовского об успокоении системы управления с последействием будет состоять из установления связи между вариационной задачи для нелокального функционала и соответствующей краевой задачи для системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с переменными коэффициентами, доказательства однозначной разрешимости указанной краевой задачи и исследования гладкости ее обобщенных решений.

Будут изучены свойства отображений, порождаемых, разностными операторами в пространствах Соболева со смешанными краевыми условиями. Используя эти свойства, будет доказана регулярная аккретивность сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов со смешанными краевыми условиями, а также однозначная и фредгольмова разрешимость смешанных задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений и секториальная структура и дискретность спектров соответствующих операторов. Будет показано, что эти операторы удовлетворяют гипотезе Като о квадратном корне из оператора.

Построение алгебры функциональных операторов со сдвигами и сжатиями независимых переменных, где сдвиг реализуется в виде свертки с сосредоточенной на компакте регулярной борелевской мерой. Вывод формулы спектрального радиуса оператора, действующего в пространстве L_2 (R^n), на основе характеристической функции меры. Получение явных выражений для спектрального радиуса в случае атомарных мер, а также ряда других мер. Получение достаточных условий существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для модельного эллиптического уравнения, содержащего под знаком лапласиана оператор аффинного преобразования, в области, удовлетворяющей условию инвариантности. Построение контрпримеров, показывающих, что при нарушении найденных условий в краевой задаче возможна потеря корректности. Получение необходимых условий и достаточных условий выполнения неравенства типа Гординга для функционально-дифференциального оператора более общей структуры со сжатием и сдвигами в старших производных неизвестной функции. Для общей краевой задачи, в предположении эллиптичности локальной части оператора (в нее входят все слагаемые без преобразований аргумента), получение условий на члены с преобразованным аргументом, гарантирующие ее фредгольмову разрешимость в пространствах Соболева. Принимая во внимание, что операторы сдвига реализуются как свертки с сосредоточенными на компакте регулярными борелевскими мерами, указанные условия будут выражены при помощи характеристических функций этих мер.

Для изучения эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, в которых одни аргументы старших производных искомой функции подвергаются сжатию, а другие – растяжению (такие преобразования называются ортотропными сжатиями) будет построена новая шкала весовых пространств с весом, индуцированным оператором ортотропного сжатия. В построенных весовых пространствах будет изучена разрешимость рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений и получены достаточные условия, связывающие коэффициенты уравнения с показателями пространства, гарантирующие однозначную разрешимость. Ожидается, что полученные условия позволят при естественных минимальных ограничениях на структуру оператора (эллиптичность той части оператора, где собраны члены без преобразований аргументов) так подбирать пару пространств (решение – правая часть), чтобы обеспечить существование единственного решения. Таким образом, будет исследована разрешимость еще одного класса нелокальных функционально-дифференциальных уравнений, имеющих сингулярные особенности обобщенных решений.

Получить необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности (выполнения неравенства Гординга) для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами и переменными коэффициентами для обоих случаев альтернативы разбиения области. Получить условия сохранения гладкости обобщенных решений таких задач в некоторых подобластях исходной области. Разработать приближенно-аналитические методы решения этих задач.

В случае задачи Коши для эллиптических дифференциально-разностных уравнений в полупространстве ожидается получение интегральных представлений решений формулами пуассоновского типа и вывод теорем о стабилизации (асимптотической близости) решений. Прикладная значимость таких результатов заключается в том, что нет необходимости вычислять в каждой точке решение (моделирующее, напр., нелинейные лазерные системы с двумерной обратной связью и нейроморфные системы), но вполне можно пользоваться полученными качественными свойствами на практике.

Для дифференциально-свёрточных уравнений ожидается получение условий, гарантирующих отсутствие глобальных решений. Прикладная значимость таких результатов заключается в том, что можно, не решая самой задачи (возникающей, напр., при моделировании искусственных нейронных сетей, процессов реакции–диффузии и нелокальных фазовых переходов), заранее определить, что её постановка неприемлема (т.е. верифицировать саму модель математической физики), и, соответственно, надо искать, какие из её условий неприемлемы и должны быть сняты либо заменены.

Для квазилинейных уравнений с KPZ-нелинейностями ожидается получение условий, гарантирующих такие специфические свойства решений, как, напр., затухание (с прикладной точки зрения это свойство важно в тех случаях, когда прикладной задачей является успокоение системы), разрушение (с прикладной точки зрения это имеет значение для оценки характеристик надёжности моделируемого процесса), компактификация и антикомпактификация (это важно в тех прикладных моделях, где требуется оценка скорости распространения возмущений).

Цели проекта
  • Исследовать существование новых классов стационарных решений уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентой плазмы в областях с границей под действием внешнего магнитного поля с ненулевым потенциалом самосогласованного электрического поля.
  • Получить результаты о корректной разрешимости и асимптотическом поведении решений интегро-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах.
  • Провести спектральный анализ интегро-дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов.
  • Развитие теории полугрупп для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений.
  • Доказать разрешимость и гладкость обобщенных решений задачи Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием.
  • Исследовать разрешимость, спектральные свойства и гладкость обобщенных решений смешанных задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Доказать, что сильно эллиптические дифференциально разностные операторы со смешанными краевыми условиями удовлетворяют гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора.
  • Исследовать разрешимость и гладкость решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения, содержащего под знаком лапласиана оператор аффинного преобразования, в области, удовлетворяющей условию инвариантности. Выделить класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с аффинными преобразованиями аргументов старших производных неизвестной функции. Изучить общую краевую задачу для эллиптического функционально-дифференциального уравнения с аффинными преобразованиями аргументов старших производных неизвестной функции в области, удовлетворяющей условию инвариантности, в шкале пространств Соболева.
  • Изучить поведение обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения со сжатиями и растяжениями координат. Планируется изучить разрешимость данной задачи в двумерном случае в специальных весовых пространствах, ассоциированных с содержащимся в уравнении преобразованием сжатия. Будет найдена связь между показателями весового пространства и коэффициентами уравнения, позволяющая получить однозначную разрешимость уравнения.
  • Разработать новые методы теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Исследование разрешимости и гладкости обобщенных решений. Построение приближенных методов решения таких задач.
  • Получить интегральные представления решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, исследовать их гладкость и асимптотические свойства. Исследовать качественные свойства (такие, как разрушение решений, затухание, компактификация и антикомпактификация, стабилизация и асимптотическая близость) уравнений и неравенств (включая функционально-дифференциальные) с нелинейностями типа Кардара-Паризи-Жанга (KPZ). Применить свойства интегральных преобразований мер для получения априорных оценок норм решений функционально-дифференциальных уравнений.
Руководитель проекта Все участники
Скубачевский Александр Леонидович

Скубачевский Александр Леонидович

Директор математического института им. С.М. Никольского факультета физико-математических и естественных наук
Результаты проекта
Исследовать новые классы стационарных решений первой смешанной задачи для системы уравнений Власова-Пуассона в областях с границей.
Доказать, что в некоторой окрестности стационарного решения системы с нулевым потенциалом и компактными носителями функций распределения заряженных частиц существуют стационарные решения с ненулевым потенциалом. Используя полученные раннее оценки оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых интегро-дифференциальных уравнений, изучить гладкость и асимптотическое поведение их решений.
Установить разрешимость и асимптотические свойства решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории распространения тепла в средах с памятью (уравнения Гуртина-Пипкина), а также интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории распространения волн в вязкоупругих средах, и спектральные свойства (локализация и асимптотика спектра, полнота и базисность собственных и присоединенных векторов) связанных с ними оператор-функций.
Полностью исследовать спектр модельных задач для систем интегро-дифференциальных уравнений типа Гуртина-Пипкина в случаях, когда ядро свертки представимо в виде суммы ряда убывающих экспонент с положительными коэффициентами.
Рассмотреть более общие ядра, представляющие собой суммы дробно-экспоненциальных функций с положительными коэффициентами (функции Работнова). Рассмотреть задачи для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений, содержащих несколько, некоммутирующих операторов.
Получить новые результаты о локализации спектра символов операторно-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, и на их основе установить оценки экспоненциального убывания решений, соответствующих операторно- и интегро-дифференциальных уравнений.
Применить методы теории полугрупп для изучения абстрактных интегро-дифференциальных уравнений.
Получить представления решений интегро-дифференциальных уравнений в виде рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра соответствующих оператор-функций. На этой основе изучить структуру и асимптотические свойств решений изучаемых интегро-дифференциальных уравнений, в частности, установить дихотомию решений.
Область исследования
  • Предлагаемые темы исследований имеют широкие приложения в механике и физике. При создании эффективных моделей сильно неоднородных сред, составленных из фаз с различными реологическими свойствами, часто в соответствующих уравнениях возникают нелокальные слагаемые типа свертки. Подобные системы используются в моделях вязкоупругих сред, некоторые нестандартные модели теплопроводности с конечной скоростью распространения тепла также содержат упомянутые члены типа свертки. Интересная область приложений - теория колебаний трубопроводов с движущейся вязкой жидкостью. Там возникают дифференциальные уравнения высокого порядка с дополнительными нелокальными членами типа свертки.