Краевые и смешанные задачи для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений
Краевые и смешанные задачи для функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Рассматривается первая смешанная задача для системы уравнений Власова-Пуассона для двукопонентной плазмы в области с границей (полупространство, бесконечный цилиндр). Эта задача описывает эволюцию функций распределения ионов и электронов в высокотемпературной плазме при наличии внешнего магнитного поля. Будет рассмотрен вопрос о существовании стационарных решений этой задачи с ненулевым потенциалом самосогласованного электрического поля. Будет показано, что в некоторой окрестности стационарного решения системы с нулевым потенциалом и компактными носителями функций распределения существуют стационарные решения с ненулевым потенциалом.

Одно из важных направлений проекта - развитие методов исследования функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений:

  • изучение корректной разрешимости начально-краевых задач,
  • спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами этих уравнений с использованием спектральной теории линейных операторов и теории операторных пучков,
  • применение теории полугрупп.

Планируется изучение функционально-дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовых и банаховых пространствах, являющихся операторными моделями уравнений, возникающих в многочисленных приложениях: теория вязкоупругости, теплофизика, динамика многофазных сред.

Будут исследованы и доказаны разрешимость и гладкость обобщенных решений задачи Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием, описываемой краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений.

Будут рассматриваться смешанные краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Предполагается доказать теоремы об однозначной и фредгольмовой разрешимости таких задач, секториальной структуре и дискретности спектра соответствующих операторов, а также о гладкости обобщенных решений в некоторых подобластях. Будет доказано, что сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы со смешанными краевыми условиями удовлетворяют известной гипотезе Т.Като о квадратном корне из оператора.

Функционально-дифференциальные уравнения с аффинными преобразованиями независимого переменного, обобщающие хорошо известное уравнение пантографа, находят применения в самых разных областях: астрофизике, нелинейных колебаниях, биологии, теории чисел, теории вероятностей. Будут изучены многомерные аналоги этих уравнений.

Обобщенные решения задачи Дирихле для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих старшие части преобразования ортотропного сжатия могут иметь степенные особенности, поэтому, естественно исследовать разрешимость такой задачи в пространствах с весом, индуцированным оператором сжатия.

Будут исследоваться разрешимость и гладкость обобщенных решений краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов.

В настоящее время качественные свойства глобальных решений уравнений с нелокальными членами главным образом исследованы для дифференциально-разностных уравнений и уравнений с операторами сжатия/растяжения независимой переменной. Для дифференциально-сверточных уравнений и многомерных дифференциально-разностных уравнений, возникающих в различных приложениях, не покрываемых классическими моделями математической физики, указанные качественные свойства практически не изучены. Ожидается получение интегральных представлений решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, достаточных условий отсутствия глобальных решений квазилинейных уравнений и неравенств с нелокальными членами, а также априорных оценок решений функционально-дифференциальных уравнений и нелокальных задач с данными-мерами.

Цели проекта
  • Исследование существования новых классов стационарных решений уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентой плазмы в областях с границей под действием внешнего магнитного поля с ненулевым потенциалом самосогласованного электрического поля.
  • Исследование существования новых классов стационарных решений уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентой плазмы в областях с границей под действием внешнего магнитного поля с ненулевым потенциалом самосогласованного электрического поля.
  • Доказать разрешимость и гладкость обобщенных решений задачи Н.Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием.
  • Исследовать разрешимость, спектральные свойства и гладкость обобщенных решений смешанных задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Доказать, что сильно эллиптические дифференциально разностные операторы со смешанными краевыми условиями удовлетворяют гипотезе Т. Като о квадратном корне из оператора.
  • Исследование разрешимости и гладкости решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения, содержащего под знаком лапласиана оператор аффинного преобразования, в области, удовлетворяющей условию инвариантности. Выделение класса сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений второго порядка с аффинными преобразованиями аргументов старших производных неизвестной функции. Изучение общей краевой задачи для эллиптического функционально-дифференциального уравнения с аффинными преобразованиями аргументов старших производных неизвестной функции в области, удовлетворяющей условию инвариантности, в шкале пространств Соболева.
  • Изучение поведения обобщенных решений задачи Дирихле для функционально-дифференциального уравнения со сжатиями и растяжениями координат. Планируется изучить разрешимость данной задачи в двумерном случае в специальных весовых пространствах, ассоциированных с содержащимся в уравнении преобразованием сжатия. Будет найдена связь между показателями весового пространства и коэффициентами уравнения, позволяющая получить однозначную разрешимость уравнения.
  • Разработка новых методов теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов. Исследование разрешимости и гладкости обобщенных решений. Построение приближенных методов решения таких задач.
  • Получить интегральные представления решений задачи Дирихле в полупространстве для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, исследовать их гладкость и асимптотические свойства. Исследовать качественные свойства (такие как разрушение решений, затухание, компактификация и антикомпактификация, стабилизация и асимптотическая близость) уравнений и неравенств (включая функционально-дифференциальные) с нелинейностями типа Кардара-Паризи-Жанга (KPZ). Применить свойства интегральных преобразований мер для получения априорных оценок норм решений функционально-дифференциальных уравнений.
Руководитель проекта Все участники
Скубачевский Александр Леонидович

Скубачевский Александр Леонидович

Директор математического института им. С.М. Никольского факультета физико-математических и естественных наук
Результаты проекта
Потенциальный результат
Доказать существование стационарного решения системы уравнений Власова-Пуассона для двукомпонентной плазмы с внешним магнитным полем, имеющего ненулевой потенциал электрического поля.
Потенциальный результат
Получить результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с ядрами дробно-экспоненциального типа. Получить представления решений интегро-дифференциальных уравнений в виде рядов по экспонентам, отвечающим частям спектра соответствующих оператор-функций в случае, когда ядро интегрального оператора представляет собой сумму конечного или счетного числа дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова и др.) с положительными коэффициентами. Изучить свойства полугрупп для интегро-дифференциальных уравнений типа Гуртина-Пипкина в зависимости от свойств ядер интегральных операторов.
Потенциальный результат
Для задачи о полном успокоении системы управления с последействием установить связь между вариационной задачей для нелокального функционала, описывающего эту систему, и краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с переменными коэффициентами. Доказать существование и единственность обобщенного решения рассматриваемой краевой задачи для системы дифференциально-разностных уравнений.
Потенциальный результат
Для цилиндрической области доказать теоремы о свойствах отображений, порождаемых регулярными разностными операторами в пространствах Соболева со смешанными краевыми условиями. Доказать однозначную и фредгольмову разрешимость смешанных краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндрической области, а также регулярную аккретивность соответствующих операторов, секториальную структуру и дискретность их спектра, гладкость обобщенных решений рассматриваемых смешанных краевых задач.
Потенциальный результат
Определение функциональных операторов с аффинным преобразованием аргумента, изучение задачи Дирихле для модельного эллиптического уравнения, содержащего под знаком лапласиана оператор аффинного преобразования, в области, удовлетворяющей условию инвариантности.
Потенциальный результат
Изучение эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, в которых одни аргументы старших производных искомой функции подвергаются сжатию, а другие – растяжению. Такие преобразования называются ортотропными сжатиями (прежде подобные уравнения рассматривались в шкале весовых пространств Кондратьева H_β^s (R^2), имеющих в качестве весовой функции степень полярного радиуса. Построение новой шкалы весовых пространств с весом, индуцированным оператором ортотропного сжатия. Например, в качестве весовой функции берется степень отношения x_1/x_2 координат. Изучение свойств этих пространств, связанных прежде всего с действием преобразования Фурье.
Потенциальный результат
Исследование эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами и переменными коэффициентами в случае, когда разбиение области на подобласти, порожденное разностным оператором ассоциировано с одним конечным графом. Исследование необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Гординга для таких уравнений.
Потенциальный результат
Исследование эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с нелокальными членами типа свёртки и данными-мерами. Получение априорных оценок норм весовых средних квадрата модуля решения. Исследование эллиптических уравнений с KPZ-нелинейностями в цилиндрических областях. Получение условий разрешимости и предельных значений решений.
Область исследования
  • Предлагаемые темы исследований имеют широкие приложения в механике и физике. При создании эффективных моделей сильно неоднородных сред, составленных из фаз с различными реологическими свойствами, часто в соответствующих уравнениях возникают нелокальные слагаемые типа свертки. Подобные системы используются в моделях вязкоупругих сред, некоторые нестандартные модели теплопроводности с конечной скоростью распространения тепла также содержат упомянутые члены типа свертки. Интересная область приложений - теория колебаний трубопроводов с движущейся вязкой жидкостью. Там возникают дифференциальные уравнения высокого порядка с дополнительными нелокальными членами типа свертки.