Буренков Виктор Иванович
Буренков Виктор Иванович
Доктор физико-математических наук

Добиваться получения неулучшаемых результатов, как правило необходимых и достаточных условий, для справедливости того или иного утверждения.

1958-1968

Студент, аспирант, ассистент кафедры высшей математики Московского физико-технического института.

1968-1981

Старший преподаватель, доцент кафедры высшей математики Московского института радиотехники, электроники и автоматики.

1981-1994

Доцент, профессор кафедры теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов.

1982

Защитил докторскую диссертацию на тему «Исследование пространств дифференцируемых функций с нерегулярной областью определения».

1991

Награжден медалью Ученого Совета РУДН.

1994-2006

Full professor of the Cardiff School of Mathematics, Cardiff University (Кардифф, Великобритания).

1997

С момента основания  является членом международного общества по математическому анализу «International Society for Analysis, Applications» (ISAAC). С 2003 г. по 2013  г. был вице-президентом этого общества. В 2011 г. был одним из организаторов 8-го Конгресса ISAAC, проходившего в РУДН (более 400 участников из более 30 стран мира).

2006

Присвоено звание почетного профессора Евразийского Национального Университета им. Л.Н. Гумилева (Астана, Казахстан).

2007

Присвоено звание почетного доктора Российско-Армянского Университета (Ереван, Армения).

2010

Почетная награда Deshbandhu College (Университет Дели, Индия).

2006-2011

Full professor of the Department of pure and applied mathematics, Padova University (Падуя, Италия).

2011

Награжден почетной грамотой Министерства образования и науки России. Награжден медалью Министерства образования и науки Казахстана.

2011-2014

Профессор кафедры высшей математики Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева (Астана, Казахстан).

2013

Присвоено звание почетного сотрудника Падованского Университета (Падуя, Италия).

2014-н.в.

Профессор международного уровня Российского университета дружбы народов, внештатный сотрудник Математического института РАН им. В.А. Стеклова, honorary distinguished professor of the Cardiff School of Mathematics, Cardiff University (Кардифф, Великобритания).

2015

Присвоено звание почетного заслуженного профессора Кардиффского университета, математический факультет (Кардифф, Великобритания). Присвоено звание почетного профессора Актюбинского Регионального Государственного Университета им. Л.Н. Гумилева (Актобе, Казахстан).

2015-2018

Заведующий кафедрой математического анализа и теории функций.

2017-2018

Один из организаторов и первый директор Математического института имени С.М. Никольского.

2018-н.в.

Профессор Математического института им. С.М. Никольского.

Преподавание

  1. Издал ряд учебных пособий, из которых наиболее значимые следующие:
    • Burenkov V.I. Function spaces. Lp - spaces, Peoples' Friendship University of Russia (1987), 80 pp (Russian).
    • Burenkov V.I., Function spaces. Solutions of the problems in the sections: Normed, seminormed, quasinormed spaces. Spaces of differentiable functions. Basic information about the Lebesgue integral", Peoples' Friendship University of Russia, Moscow (1988), 60 pp (Russian).
    • Burenkov V.I., Goldman M.L. Function spaces. Solutions of the problems in the sections: The spaces Lp (0 < p < 1) and L1. Ho lder’s inequality. Minkowski's inequality. Convergence in L1. Completeness of the spaces
      Lp. Classification of the spaces Lp", Peoples' Friendship University of Russia, Moscow (1989), 52 pp (Russian).
    • Burenkov V.I. Function spaces. Main integral inequalities related to Lp - spaces, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow (1989), 96 pp. (Russian).
    • Burenkov V.I. Function spaces. Sobolev spaces. Part 1, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow (1991), 89 pp (Russian).
    • Burenkov V.I., Goldman M.L. Function spaces. Solutions of the problems in the sections: Generalised Minkowski's inequalities. Hardy's inequalities", Peoples' Friendship University of Russia, Moscow (1990), 76 pp (Russian).
    • Burenkov V.I., Goldman M.L. Function spaces. Solutions of the problems in the sections: Young's inequality for convolutions. Distribution functions, rearrangements. Interpolation theorems", Peoples' Friendship of University
    • of Russia, Moscow, (1992), 72 pp (Russian).
  2. Разработал курс «Основные идеи теории пространств Соболева», который прочитал во многих университетах мира (в России, Армении, Беларуси, Казахстане, Великобритании, Германии, Италии, США, Мексике, Колумбии, Алжире, Эфиопии, Кот-д'Ивуаре, Пакистане, Японии). Его монография (Burenkov V.I. Sobolev spaces on domains, B.G. Teubner, Stuttgart-Leipzig, 312 pp (1998) )  стала популярным текстом как для специалистов по теории функциональных пространств, так и для  широкого круга математиков, заинтересованных в применении теории пространств Соболева. 
  3. В РУДН в настоящее время читает следующие дисциплины:
    • «Функциональный анализ» (направление «Математика», бакалавриат, на английском языке) 
    • «Теория функциональных пространств» ( направление «Математика» , магистратура, на английском языке)
  4. 1955-1968 гг. вел практические занятия по математическому анализу и линейной алгебре, читал спецкурсы по функциональному анализу для студентов специальности «Математика»  Московского физико-технического института (МФТИ).   
  5. 1968-1981 гг. читал лекции по различным разделам высшей математики (линейная алгебра, математический анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория вероятностей) и по функциональному анализу для студентов специальности «Прикладная математика»  и «Радиофизика» Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА)
  6. 1981-1994 гг. читал лекции по математическому анализу, теории функций, комплексному анализу, интегральным уравнениям, дифференциальным уравнениям с частными производными, теории обобщенных функций, пространствам Соболева студентам направлений «Математика», «Прикладная математика» РУДН.
  7. 1994-2006 гг. читал лекции по теории функций, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям, теории функциональных пространств студентам направления «Математика» Кардиффского университета (Cardiff University )
  8. 2006-2011 гг.  читал лекции по математическому анализу, теории функций, функциональному анализу, спектральной теории дифференциальных операторов (частично на итальянском, частично на английском языке) студентам направления «Математика» Падованского университета (University of Padova ).
  9. 2001-2014 гг. читал лекции по теории функций, функциональному анализу и теории функциональных пространств (на английском языке) студентам направления «Математика» Евразийского Национального университета им. Л.Н. Гумилева.
  10. Под научным руководством В. И. Буренкова более 25 аспирантов РУДН защитили кандидатские диссертации.

Наука

  • Разработал ряд оригинальных подходов и методов. Его метод операторов усреднения с переменным шагом и сдвигом позволил получить основополагающие результаты в приближении функций, принадлежащих общим функциональным пространствам, бесконечно дифференцируемых функций, в частности, с сохранением граничных значений, и особенно в задаче о продолжении функций из пространств Соболева. Построенный с помощью этого метода оператор продолжения функций из пространств Соболева с сохранением или минимальным ухудшением дифференциальных свойств упоминается как оператор продолжения Буренкова. С его помощью Виктор Иванович Буренков и Александр Львович Горбунов получили точные относительно порядка гладкости оценки для минимальной нормы оператора продолжения. Его статья о суперпозиции абсолютно непрерывных функций была представлена в Доклады АН СССР Андреем Николаевичем Колмогоровым и полученный в ней результат цитируется как теорема Буренкова.
  • Разработал метод дробного дифференцирования априорных неравенств, что позволило получить необходимые и достаточные условия условной гипоэллиптичности дифференциальных операторов с частными производными с постоянными коэффициентами. Это направление в дальнейшем было развито группой исследователей из Еревана во главе с Гайком Гегамовичем Казаряном. В их работах вышеупомянутый результат приводится как теорема Буренкова об условной гипоэллиптичности, и этот тип гипоэллиптичности называется гипоэллиптичностью по Буренкову.
  • Внес большой вклад в разделы математики, связанные с математическим анализом и дифференциальными уравнениями. Профессор Буренков – признанный в мире специалист в теории функциональных пространств, особенно пространств Соболева и пространств с дробным порядком гладкости, и ее применениях. Произвел важные исследования по теории дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений, в частности, по теории гипоэллиптических уравнений, спектральной теории дифференциальных операторов и теории некорректных задач.
  • Профессор Буренков – основоположник исследований нового случая конечного интервала. Толчок новому направлению дали работы по неравенствам для промежуточных производных с точными постоянными. Точные константы были также найдены в некоторых неравенствах разных метрик, неравенствах типа Маркова для многочленов и, совместно с Владимиром Анатольевичем Гусаковым, в некоторых теоремах вложения для пространств Соболева. Точные константы в некоторых неравенствах типа Харди были получены совместно со шведскими математиками J. Bergh и Lars-Erik Persson.
  • Доказаны новые типы теорем о мультипликаторах интегралов Фурье для весовых лебеговых пространств с экспоненциальным весами и рассмотрены приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными.
  • Построен нелинейный оператор продолжения для предельного случая теоремы о следах для анизотропных пространств Никольского-Бесова, и доказано, что в этом случае линейный оператор продолжения не существует. Профессор Буренков совместно с профессором Михаилом Львовичем Гольдманом исследовали взаимосвязь между нормами широкого класса операторов в общих нормированных функциональных пространствах и нормами в их периодических аналогах. Эти результаты позволяют переносить многие утверждения, доказанные для непериодического случая, на периодический случай и, наоборот, с периодического случая – на непериодический.
  • Разработаны новые гибкие методы построения регуляризированных приближенных решений интегральных уравнений типа свертки, связанных с геофизическими проблемами. В основе – применение пространств с малой дробной гладкостью. Эти методы оказались более эффективными, чем традиционные подходы, основанные на использовании пространств Соболева.
  • Сотрудничал с профессором Эвансом (William Desmond Evans) с Факультета математики Кардиффского университета (School of Mathematics, Cardiff University, г.Кардифф, Великобритания), что привело к публикации работ по весовым интегральным неравенствам и часто цитируемой работы по квантовой механике V. I. Burenkov, W. D. Evans, “On the evaluation of the norm of an integral operator associated with the stability of one-electron atoms”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 128:5 (1998), 993–1005.
  • Эксперт в теории операторов в общих пространствах типа Морри:
    • Были получены для широкого диапазона числовых параметров необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, обеспечивающие ограниченность многих классических операторов действительного анализа (максимального оператора, дробного максимального оператора, потенциала Рисса, оператора Харди, истинных сингулярных интегралов, операторов Хаусдорфа) из одного общего локального пространства типа Морри в другое. В случае максимального оператора и дробного максимального оператора исследование было проведено совместно с Вагифом Сабировичем Гулиевым – д.ф-м.н., профессором, членом-корреспондентом Национальной академии наук Азербайджана (г. Баку, Азербайджан).
    • Выяснил, что локальные пространства типа Морри, в отличие от глобальных, удобны для целей интерполяции. Было доказано, что шкала локальных пространств типа Морри замкнута относительно вещественного метода интерполяции. Исследование проведено совместно с Ерланом Даутбековичем Нурсултановым – д.ф-м.н., профессором (Механико-математический факультет Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева – г.Астана, Казахстан).
    • Получил аналог неравенства Юнга для сверток функций для глобальных пространств типа Морри, который имеет форму, отличную от формы классического неравенства Юнга для лебеговых пространств, и может быть использована в различных приложениях. Результаты опубликованы в работе в соавторстве с Тамарой Васильевной Тарарыковой – научным сотрудником факультета Математики Университет Кардиффа (Cardiff University, г. Кардифв, Великобритания).
  • Эксперт в области получения точных спектральных оценок устойчивости для собственных чисел самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов:
    • Первым опубликовал работу о спектральной устойчивости оператора Лапласа с однородными граничными условиями Неймана – в соавторстве с президентом Лондонского математического общества Эдвардом Дэвисом (Edward Brian Davies) - профессором математики Королевского колледжа Лондона (King’s College London, KCL – г. Лондон, Великобритания).
    • Разработал метод операторов перехода – совместно с итальянским математиком Пьером Ламберти (Pier Domenico Lamberti) - профессором Факультета математики Университета Падуи (г. Падуя, Италия). Метод позволил получить точные изменения собственных чисел при возмущении области определения через эффективные геометрические характеристики близости исходной и возмущенной областей определения для эллиптических операторов произвольного четного порядка, заданных на открытых множествах, допускающих сколь угодно сильное вырождение как для случая однородных граничных условий Дирихле, так и для условий Неймана. Эти результаты цитируется как теоремы Буренкова – Ламберти.
    • Рассмотрел случай третьей краевой задачи (задачи Робина) вместе с итальянским математиком Массимо де Кристофорис (Massimo Lanza de Cristoforis) - профессором Факультета математики Университета Падуи (г. Падуя, Италия).
    • Применил конформные отображения к проблеме спектральной устойчивости для двумерного оператора Лапласа. Исследование проведено совместно с Владимиром Гольдштейном и Александром Ухловым, профессорами Факультета математики Университета имени Бен-Гуриона (Ben-Gurion University of the Negev, BGU – г. Негев, Израиль).
    • Получены результаты по устойчивости сингулярных чисел несамосопряженных эллиптических операторов в совместном исследовании с д.ф.-м.н., профессором Мухарбаем Отелбаевичем Отелбаевым – действительным членом НАН Республики Казахстан,
      профессором Механико-математического факультета Евразийского университета имени Л.Н. Гумилева. Результаты имеют приложения к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными и численным методам, связанным с вычислением собственных чисел.
    • Изучается получение точных спектральных оценок устойчивости для собственных функций при возмущении области определения. Некоторые результаты в этом направлении были получены В.И. Буренковым совместно с Герасимосом Барбатисом (Gerasimos Barbatis), профессором факультета математики Афинского национального университета имени Каподистрии (the National and Kapodistrian University of Athens, NKUA – г. Афины, Греция), профессором Ламберти (P.D. Lamberti, Факультет математики Университета Падуи, Италия) и Эрмалом  Фелеки (Ermal Feleqi), профессором Факультета математики Университета «Исмаил Кемали» (Universiteti "Ismail Qemali" i Vlorës – г. Влёра, Албания).
  • Опубликовано свыше 180 статей. Сделано более 100 пленарных докладов на конференциях и по приглашениям университетов в 30 странах.
  • Один из основателей и главный редактор международного журнала «Eurasian Mathematical Journal» (совместно с академиком Российской академии наук Виктором Антоновичем Садовничим и академиком Национальной академии наук Казахстана Мухтарбаем Отелбаевичем Отелбаевым).

Научные интересы

  • Теория функций и функциональный анализ (пространства Соболева, пространства Никольского-Бесова, общие пространства типа Морри, теория интерполяции).
  • Дифференциальные уравнения с частными производными (гипоэллиптические уравнения, спектральная устойчивость).
  • Интегральные уравнения (некорректные задачи).
  • Приложения к геофизике, квантовой механике, численным методам, теории радаров, акустике.
Вычислена норма интегрального оператора, возникающего в волновом разложении оператора B, введенного Брауном и Равенхолом в модели для релятивистских одноэлектронных атомов. Получен следующий результат: B неотрицателен и не имеет собственного значения в точке 0, когда ядерный заряд не превышает заданного критического значения.
Доказывается эквивалентность неравенств типа Харди и типа Соболева, некоторые равномерные оценки ядра оператора теплопроводности и некоторые свойства спектральной регулярности оператора Лапласа с граничными условиями Неймана, связанные с произвольной областью конечной меры в евклидовом пространстве. Мы также доказываем, что если возмущать границу области с сохранением равномерной гельдеровости, то собственные значения оператора Лапласа с граничными условиями Неймана меняются на малую и явно оцениваемую величину.
Задача об ограниченности максимального оператора Харди-Литтвуда в локальных и глобальных пространствах типа Морри сведена к задаче об ограниченности оператора Харди в весовых Лебеговых пространствах на конусе неотрицательных невозрастающих функций. Это позволяет получить достаточные условия ограниченности для всех допустимых значений параметров. Более того, в случае локальных пространств типа Морри для некоторых значений параметров эти достаточные условия являются также необходимыми.
Рассматривается оператор Лапласа с граничными условиями Робина (третья краевая задача) в двух ограниченных областях Ω1 и Ω2 с липшицевыми границами и таких, что Ω2 ⊂ Ω1. Получены двусторонние оценки для собственных значений оператора Лапласа с граничными условиями Робина в Ω2 через собственные значения оператор Лапласа с граничными условиями Робина в Ω1. Эти оценки зависят от меры разности множеств Ω1 \ Ω2, от подходящих характеристик близости границ Ω1 и Ω2 и от функций, определенных на границах, которые входят в граничные условия Робина.
Задача об ограниченности потенциала Рисса в локальных пространствах Морри сведена к задаче об ограниченности оператора Харди в весовых Лебеговых пространствах на конусе неотрицательных невозрастающих функций. Это позволяет получить точные достаточные условия ограниченности для всех допустимых значений числовых параметров.
Доказаны точные оценки отклонения собственных чисел неотрицательных самосопряженных эллиптических операторов произвольного четного порядка при возмущении открытых множеств, на которых они определены. Эти оценки выражаются через меру Лебега симметрической разности открытых множеств. Рассмотрены граничные условия Дирихле и Неймана.
Обзор результатов, полученных В.И. Буренковым совместно с многочисленными соавторами об ограниченности операторов классической теории функций в общих пространствах типа Морри. Основное внимание уделено случаям, когда получены необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, обеспечивающие ограниченность таких операторов из одного общего локального пространства типа Морри в другое.
Обзор результатов, полученных В.И. Буренковым совместно с многочисленными соавторами об ограниченности операторов классической теории функций в общих пространствах типа Морри. Основное внимание уделено случаям, когда получены необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, обеспечивающие ограниченность таких операторов из одного общего локального пространства типа Морри в другое.
Рассматривается вещественный метод интерполяции и доказывается, что для общих локальных пространств типа Морри в случае, когда они имеют одинаковый параметр суммируемости, интерполяционные пространства снова являются общими локальными пространствами Морри с надлежащим образом выбранными параметрами. Этот результат является частным случаем интерполяционной теоремы для гораздо более общих пространств, определенных с помощью операторов, действующих из некоторого функционального пространства в конус неотрицательных неубывающих на полуоси функций. Также показывается, как классические интерполяционные теоремы такие, как теоремы Стейна–Вейса, Петре, Кальдерона, Гильберта, Лизоркина, Фрайтага и некоторые их новые варианты, могут быть получены из этой теоремы.
Рассмотрена задача на собственные значения оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле в ограниченных односвязных плоских областях. Эта задача сведена, используя конформные отображения, к весовой задаче на собственные значения для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле в единичном круге. Это позволяет оценить изменение собственных значений оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле при возмущении области определения для широкого класса «конформно регулярных» областей, включающих в себя все квазидиски, т. е. образы единичного круга при квазиконформных гомеоморфизмах плоскости на себя. Границы таких областей могут иметь любую Хаусдорфову размерность между 1 и 2.
Доказан аналог классического неравенства Юнга для сверток функций в случае общих глобальных пространств типа Морри. Этот аналог имеет форму, отличную от неравенства Юнга для сверток в случае Лебеговых пространств. Отдельно рассмотрен случай периодических функций.