Фаминский Андрей Вадимович
Доктор физико-математических наук
Профессор,
математический институт им. с.м. никольского
Развитие теоретической математики.
1975-1980
Студент механико-математического факультета Московского государственного университета (МГУ) им. М.В. Ломоносова.
1980-1983
Аспирант кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
1984
Защитил кандидатскую диссертацию на тему «Задача Коши и смешанная задача в полуполосе для уравнений типа Кортевега-де Фриза».
1983-1988
Ассистент кафедры математики Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА).
1988-1990
Доцент кафедры математики МИРЭА.
1990-2002
Доцент кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН.
2001
Получил степень доктора физико-математических наук, тема докторской диссертации «Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений».
2002-2018
Профессор кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (после реорганизации в 2005 г. – кафедры нелинейного анализа и оптимизации) РУДН.
2012
Получил звание профессора.
2014
Лауреат премии РУДН в области науки и инноваций.
2018-н.в.
Профессор Математического института им. С.М. Никольского.
Преподавание
1. Подготовил учебные курсы, из которых наиболее значимы следующие:
- «Функциональные пространства эволюционного типа» - М.:РУДН, 2011, 2016 – 2-е издание.
- «Избранные главы теории эволюционных уравнений» - М.:РУДН, 2014.
2. В РУДН читает курсы лекций для студентов бакалавриата и магистратуры:
- «Комплексный анализ» (направление «Математика», бакалавриат),
- «Уравнения с частными производными» (направление «Математика», бакалавриат),
- «Нелинейные эволюционные уравнения» (направление «Математика», магистратура).
Наука
- Получены результаты о глобальной разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка. К подобным уравнениям относятся уравнение Кортевега-де Фриза, Кавахары, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова. Эти уравнения описывают нелинейные волновые процессы в средах с дисперсией. Указанные результаты установлены как для широких классов уравнений рассматриваемого типа, так и для отдельных уравнений. Для рассмотренных граничных задач изучены также вопросы внутренней регулярности решений, поведения решений при больших временах и управляемости.
- Исследования были начаты в 1980-х годах совместно с профессором Станиславом Николаевичем Кружковым для задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза - наиболее известный представитель указанного класса уравнений. В частности, был обнаружен так называемый эффект локального сглаживания решений (одновременно со знаменитым американским математиком Т. Като), который позволил установить результаты существования глобальных по времени решений при нерегулярных начальных данных. Кроме того, было обнаружено свойство повышения внутренней гладкости решений в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальных данных. Метод исследования существенно использовал свойства соответствующего линеаризованного уравнения, а именно – уравнеия Эйри. В частности, была применена идея обращения линейной части уравнения Кортевега-де Фриза для того, чтобы установить результаты о единственности рассмотренных решений.
- Дальнейшее изучение свойств уравнения Эйри позволило построить специальные решения этого уравнения типа граничных потенциалов. Применение этих граничных потенциалов дало возможность получить результаты о глобальной корректности начально-краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза при естественных или близких к естественным условиях гладкости граничных данных.
- В дальнейшем эти методы, развитые для уравнения Кортевега-де Фриза, были применены для более широкого класса уравнений нечётного порядка. Были получены результаты о существовании и единственности глобальных решений. Предположения на класс рассмотренных уравнений позволили использовать такие аналоги свойств уравнения Кортевега-де Фриза, как существование законов сохранения и эффект локального сглаживания. Также были построены специальные решения типа граничных потенциалов соответствующих линеаризованных уравнений, которые были применены при изучении начально-краевых задач.
- В процессе изучения обобщений уравнения Кортевега-де Фриза особое внимание было уделено тем из них, которые являлись модельными для описания распространения нелинейных волн. В частности, для уравнения Кадомцева-Петвиашвили в случае двух пространственных переменных были получены первые результаты о существовании глобальных решений задачи Коши.
- Другим примером многомерного обобщения уравнения Кортевега-де Фриза является уравнение Захарова-Кузнецова. Для этого уравнения были построены классы глобальной корректности – как в случае задачи Коши, так и начально-краевых задач. При этом рассмотрены случаи как двумерного, так и трёхмерного уравнений. Применение граничных потенциалов дало возможность получить эти результаты при естественных условиях гладкости граничных данных. Также были установлены результаты о внутренней регулярности решений.
- Ещё одним важным уравнением, обобщающим уравнение Кортевега-де Фриза, является уравнение Кавахары, которое моделирует распространение волн в средах с более высоким порядком дисперсии. Здесь также получены результаты о глобальной корректности начально-краевых задач при естественных условиях гладкости граничных данных и о внутренней регулярности решений.
- В последние годы для указанных выше уравнений также были изучены вопросы поведения решений при больших временах, а также некоторые задачи управления.
Научные интересы
- разрешимость и корректность граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
- внутренняя регулярность решений граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
- поведение при больших временах решений граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
- управляемость граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
Рассмотрена начально-краевая задача в полуполосе с одним краевым условием для уравнения Кортевега-де Фриза и получены результаты о глобальной корректности в пространствах Соболева различных порядков, в том числе, дробных. Начальные и граничные данные удовлетворяют естественным (или близким к естественным) условиям, проистекающим из свойств решений соответствующей начально-краевой задачи для линеаризованного уравнения КдФ. Значительная часть работы состоит в исследовании специальных решений тира «граничных потенциалов» для этого линеаризованного уравнения.
В настоящей статье мы устанавливаем результаты, касающиеся убывания энергии, связанной с демпфированным уравнением Кортевега-де Фриза, заданным на неограниченных областях. Мы доказываем экспоненциальное убывание энергии для случая задачи Коши и локализованного механизма диссипации. Если этот механизм действует на всей прямой, мы получаем аналогичный результат в пространствах H k , k∈ℕ. Кроме того, убывание энергии в случае начальной-краевой задачи, поставленной на правой полуоси, получено в случае малых начальных данных, но при более общем диссипационном условии.
Рассматривается начально-краевая задача в полосе с однородными краевыми условиями Дирихле для двумерного обобщённого уравнения Захарова-Кузнецова. В частности, диссипативные и абсорбирующие члены с вырождением могут быть добавлены к исходному уравнению Захарова-Кузнецова. Получены результаты о глобальном существовании, единственности и убывании при больших временах слабых решений.
Рассматривается начально-краевая задача в полосе с однородными краевыми условиями Дирихле для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова-Бюргерса. Установлены результаты о глобальной корректности и убывании при больших временах в пространствах H<sup>s</sup> для s∈[0,2].
Рассматривается начально-краевая задача с однородными краевыми условиями Дирихле для трёхмерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальном существовании, единственности и убывании при больших временах слабых решений в некоторых весовых пространствах.
Рассматриваются начально-краевые задачи в ограниченном прямоугольнике с различными типами краевых условий для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальном корректности слабых и регулярных решений. Как приложения разработанной техники также получены результаты и граничной управляемости и убывании при больших временах слабых решений.
Рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары с нелинейностью высокого порядка. Получен результат о существовании и единственности глобального решения. Также в случае наличия в уравнении абсорбирующего слагаемого, исчезающего на бесконечности, устанавливается затухание решения при больших временах.
Рассматриваются начально-краевые задачи на полуполосе с различными типами краевых условий для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальной корректности в классах регулярных решений в случаях краевых условий Неймана или периодических. Результаты о внутренней регулярности решений получены для всех типов краевых условий. Также в случае краевых условий Дирихле получен результат об убывании регулярных решений при больших временах.
Рассматриваются вопросы внутренней регулярности слабых решений начально-краевых задач для уравнения Захарова-Кузнецова с двумя пространственными переменными. Начальная функция предполагается нерегулярной, а основным параметром, влияющим на регулярность, является скорость убывания начальной функции на бесконечности. Основные результаты работы относятся к случаю задачи, заданной на полуполосе. При этом различные типы краевых условий (например, Дирихле или Неймана) влияют на характер внутренней регулярности. Приводится также обзор ранее полученных результатов для других типов областей: всей плоскости, полуплоскости и полосы.
Рассматривается начально-краевая задача на прямоугольнике для уравнения Захарова-Кузнецова. В правую часть уравнения входит неизвестная функция, которая является управлением. Ставится дополнительное условие интегрального переопределения. При некоторых условиях малости установлена однозначная разрешимость этой задачи. В случае соответствующего линеаризованного уравнения аналогичный результат получен без предположения малости.
Устанавливаются результаты об однозначной разрешимости задач управления для уравнения Кортевега-де Фриза и его линеаризованного аналога в ограниченной области при интегральном условии переопределения. В случае самого уравнения Кортевега-де Фриза накладываются либо условия малости входных данных, либо условия малости временного промежутка. В линейном случае эти ограничения отсутствуют. В качестве управления выбираются либо значение производной решения на одной их границ, либо правая часть уравнения, имеющая специальный вид.
Рассматриваются начальная и начально-краевые задачи, поставленные на неограниченных интервалах, для уравнения Кортевега-де Фриза. Правая часть уравнения содержит неизвестную функцию, которая трактуется как управление, и которая должна быть выбрана так, чтобы для соответствующего решения было выполнено некоторое дополнительное интегральное условие. Результаты о существовании и единственности получены либо в случае малых входных данных, либо малого временного промежутка.
Рассматриваются начально-краевые задачи на полуполосе с различными типами краевых условий для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальном существовании, единственности и убывании при больших временах слабых и регулярных решений.
Классические рассуждения при выводе оценок Стричарца применены к абстрактному однопараметрическому множеству линейных непрерывных операторов. В результате строго обоснована оценка типа Стричарца в неконцевом случае.
А.В. Фаминский Функциональные пространства эволюционного типа. Учебное пособие, 2-е издание, исправленное и дополненное. Изд-во РУДН, 2016. 144 с.
Пособие содержит систематическое изложение теории функциональных пространств, применяющихся при исследовании эволюционных уравнений с частными производными. Элементами таких пространств являются функции, отображающие интервал действительной прямой в банахово пространство.
Рассматриваются стационарные решения на ограниченном интервале начально-краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (в последнем случае как в фокусирующем, так и дефокусирующем случаях). Метод исследования основан на теории консервативных систем с одной степенью свободы. Построенные решения оказываются периодическими. Найдены точные соотношения между длиной интервала и коэффициентами уравнения, которые являются необходимыми и достаточными для существования нетривиальных решений.
Рассматриваются глобальные слабые решения задачи Коши для обобщенного уравнения Кавахары. Устанавливаются теоремы существования, единственности и внутренней регулярности решений, а также экспоненциального убывания при больших временах.
Устанавливаются результаты о внутренней регулярности решений начально-краевой задачи, заданной на полуплоскости, для уравнения Захарова-Кузнецова.
Рассматривается начально-краевая задача на полуоси для обобщенного уравнения Кавахары, содержащего абсорбирующее слагаемое, которое может вырождаться на конечном отрезке. Устанавливается результат об убывании при больших временах слабых решений.
Рассматривается вопрос о внутренней регулярности слабых решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова в случае двух пространственных переменных. Устанавливается результат о существовании у этих решений производных, непрерывных в нормах Гельдера.
Рассмотрен вопрос о внутренней регулярности обобщенных решений задачи Коши для уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о существовании у данных решений производных, непрерывных по Гельдеру. В основе исследования лежат свойства фундаментального решения соответствующего линеаризованного уравнения.
In this work, we study at the [Уравнение] – level global well-posedness as well as long-time stability of an initial-boundary value problem, posed on a bounded interval, for a generalized higher order nonlinear Schrödinger equation, modeling the propagation of pulses in optical fiber, with a localized damping term. In addition, we implement a precise and efficient code to study the energy decay of the higher order nonlinear Schrödinger equation and we prove its convergence and exponential stability of the discrete energy.
М.М. Кавальканти, В.Дж. Корреа, А.В. Фаминский, М.А. Сепульведа С., Р. Вейар-Асем. «Корректность и асимптотическое поведение обобщенного нелинейного уравнения Шредингера высшего порядка с локализованным затуханием», Computers and Mathematics with Applications, 96 (2021), 188–208
В работе изучается L_2 на глобальную корректность, а также долговременную устойчивость начально–краевой задачи, поставленной на ограниченном интервале, для обобщенного нелинейного уравнения Шредингера высшего порядка, моделирующего распространение импульсов в оптическом волокне, с локализованным членом затухания. Кроме того, реализуется точный и эффективный подход для изучения затухания энергии нелинейного уравнения Шредингера высшего порядка и доказывается его сходимость и экспоненциальная стабильность дискретной энергии.
An initial-boundary value problem posed on a bounded interval is considered for a class of odd-order (more than one) quasilinear evolution equations with general nonlinearity. Assumptions on the equations do not provide global a priori estimates for solutions of an arbitrary size. For small initial and boundary data, small right-hand side function results on global existence and uniqueness of small weak solutions, as well as on their large-time exponential decay are established.
А.В. Фаминский. «Квазилинейные эволюционные уравнения нечетного порядка с общей нелинейностью в ограниченных областях», Lobachevskii Journal of Mathematics, 42:5 (2021), 875–888
Рассматривается начально-краевая задача, поставленная на ограниченном интервале для класса квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка (более одного) с общей нелинейностью. Допущения в уравнениях не дают глобальных априорных оценок для решений произвольного размера. Для малых начальных и граничных данных установлены результаты малых функций правой части о глобальном существовании и единственности малых слабых решений, а также об их экспоненциальном затухании за большое время.
Initial-boundary value problems on a half-strip with different types of boundary conditions for the modified Zakharov–Kuznetsov equation are considered. Results on local and global well-posedness in classes of mild and regular solutions, internal regularity of mild solutions and long-time decay of both mild and regular solutions are established. The solutions are considered in weighted at infinity Sobolev spaces.
А.В. Фаминский. «Начально-краевые задачи на полуполосе для модифицированного уравнения Захарова–Кузнецова», Journal of Evolution Equations, 21:2 (2021), 1263–1298
Рассмотрены начально-краевые задачи на полуполосе с различными типами граничных условий для модифицированного уравнения Захарова–Кузнецова. Установлены результаты о локальной и глобальной корректности в классах слабых и регулярных решений, внутренней регулярности слабых решений и долговременном распаде как слабых, так и регулярных решений. Решения рассматриваются во взвешенных на бесконечности пространствах Соболева.