Фаминский Андрей Вадимович
1975-1980

Студент механико-математического факультета Московского государственного университета (МГУ) им. М.В. Ломоносова.

1980-1983

Аспирант кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

1984

Защитил кандидатскую диссертацию на тему «Задача Коши и смешанная задача в полуполосе для уравнений типа Кортевега-де Фриза».

1983-1988

Ассистент кафедры математики Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА).

1988-1990

Доцент кафедры математики МИРЭА.

1990-2002

Доцент кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН.

2001

Получил степень доктора физико-математических наук, тема докторской диссертации «Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений».

2002-2018

Профессор кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (после реорганизации в 2005 г. – кафедры нелинейного анализа и оптимизации) РУДН.

2012

Получил звание профессора.

2014

Лауреат премии РУДН в области науки и инноваций.

2018-н.в.

Профессор Математического института им. С.М. Никольского.

Преподавание 

1. Подготовил учебные курсы, из которых наиболее значимы следующие:

  • «Функциональные пространства эволюционного типа» - М.:РУДН, 2011, 2016 – 2-е издание.
  • «Избранные главы теории эволюционных уравнений» - М.:РУДН, 2014.

2. В РУДН читает курсы лекций для студентов бакалавриата и магистратуры:

  • «Комплексный анализ» (направление «Математика», бакалавриат),
  • «Уравнения с частными производными» (направление «Математика», бакалавриат), 
  • «Нелинейные эволюционные уравнения» (направление «Математика», магистратура).
     

Наука

  • Получены результаты о глобальной разрешимости и корректности задачи Коши и начально-краевых задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка. К подобным уравнениям относятся уравнение Кортевега-де Фриза, Кавахары, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова. Эти уравнения описывают нелинейные волновые процессы в средах с дисперсией. Указанные результаты установлены как для широких классов уравнений рассматриваемого типа, так и для отдельных уравнений. Для рассмотренных граничных задач изучены также вопросы внутренней регулярности решений, поведения решений при больших временах и управляемости. 
  • Исследования были начаты в 1980-х годах совместно с профессором Станиславом Николаевичем Кружковым для задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза - наиболее известный представитель указанного класса уравнений. В частности, был обнаружен так называемый эффект локального сглаживания решений (одновременно со знаменитым американским математиком Т. Като), который позволил установить результаты существования глобальных по времени решений при нерегулярных начальных данных. Кроме того, было обнаружено свойство повышения внутренней гладкости решений в зависимости от скорости убывания на бесконечности начальных данных. Метод исследования существенно использовал свойства соответствующего линеаризованного уравнения, а именно – уравнеия Эйри. В частности, была применена идея обращения линейной части уравнения Кортевега-де Фриза для того, чтобы установить результаты о единственности рассмотренных решений.
  • Дальнейшее изучение свойств уравнения Эйри позволило построить специальные решения этого уравнения типа граничных потенциалов. Применение этих граничных потенциалов дало возможность получить результаты о глобальной корректности начально-краевых задач для уравнения Кортевега-де Фриза при естественных или близких к естественным условиях гладкости граничных данных.
  • В дальнейшем эти методы, развитые для уравнения Кортевега-де Фриза, были применены для более широкого класса уравнений нечётного порядка. Были получены результаты о существовании и единственности глобальных решений. Предположения на класс рассмотренных уравнений позволили использовать такие аналоги свойств уравнения Кортевега-де Фриза, как существование законов сохранения и эффект локального сглаживания. Также были построены специальные решения типа граничных потенциалов соответствующих линеаризованных уравнений, которые были применены при изучении начально-краевых задач.
  • В процессе изучения обобщений уравнения Кортевега-де Фриза особое внимание было уделено тем из них, которые являлись модельными для описания распространения нелинейных волн. В частности, для уравнения Кадомцева-Петвиашвили в случае двух пространственных переменных были получены первые результаты о существовании глобальных решений задачи Коши.
  • Другим примером многомерного обобщения уравнения Кортевега-де Фриза является уравнение Захарова-Кузнецова. Для этого уравнения были построены классы глобальной корректности – как в случае задачи Коши, так и начально-краевых задач. При этом рассмотрены случаи как двумерного, так и трёхмерного уравнений. Применение граничных потенциалов дало возможность получить эти результаты при естественных условиях гладкости граничных данных. Также были установлены результаты о внутренней регулярности решений.
  • Ещё одним важным уравнением, обобщающим уравнение Кортевега-де Фриза, является уравнение Кавахары, которое моделирует распространение волн в средах с более высоким порядком дисперсии. Здесь также получены результаты о глобальной корректности начально-краевых задач при естественных условиях гладкости граничных данных и о внутренней регулярности решений.
  • В последние годы для указанных выше уравнений также были изучены вопросы поведения решений при больших временах, а также некоторые задачи управления. 

Научные интересы

  • разрешимость и корректность граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка 
  • внутренняя регулярность решений граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка 
  • поведение при больших временах решений граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
  • управляемость граничных задач для нелинейных эволюционных уравнений нечётного порядка
     
Рассмотрена начально-краевая задача в полуполосе с одним краевым условием для уравнения Кортевега-де Фриза и получены результаты о глобальной корректности в пространствах Соболева различных порядков, в том числе, дробных. Начальные и граничные данные удовлетворяют естественным (или близким к естественным) условиям, проистекающим из свойств решений соответствующей начально-краевой задачи для линеаризованного уравнения КдФ. Значительная часть работы состоит в исследовании специальных решений тира «граничных потенциалов» для этого линеаризованного уравнения.
В настоящей статье мы устанавливаем результаты, касающиеся убывания энергии, связанной с демпфированным уравнением Кортевега-де Фриза, заданным на неограниченных областях. Мы доказываем экспоненциальное убывание энергии для случая задачи Коши и локализованного механизма диссипации. Если этот механизм действует на всей прямой, мы получаем аналогичный результат в пространствах H k , k∈ℕ. Кроме того, убывание энергии в случае начальной-краевой задачи, поставленной на правой полуоси, получено в случае малых начальных данных, но при более общем диссипационном условии.
Рассматривается начально-краевая задача в полосе с однородными краевыми условиями Дирихле для двумерного обобщённого уравнения Захарова-Кузнецова. В частности, диссипативные и абсорбирующие члены с вырождением могут быть добавлены к исходному уравнению Захарова-Кузнецова. Получены результаты о глобальном существовании, единственности и убывании при больших временах слабых решений.
Рассматривается начально-краевая задача в полосе с однородными краевыми условиями Дирихле для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова-Бюргерса. Установлены результаты о глобальной корректности и убывании при больших временах в пространствах Hs для s∈[0,2].
Рассматривается начально-краевая задача с однородными краевыми условиями Дирихле для трёхмерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальном существовании, единственности и убывании при больших временах слабых решений в некоторых весовых пространствах.
Рассматриваются начально-краевые задачи в ограниченном прямоугольнике с различными типами краевых условий для двумерного уравнения Захарова-Кузнецова. Установлены результаты о глобальном корректности слабых и регулярных решений. Как приложения разработанной техники также получены результаты и граничной управляемости и убывании при больших временах слабых решений.