Маламуд Марк Михайлович
Маламуд Марк Михайлович
Доктор физико-математических наук
Профессор Математического института им. С.М. Никольского , математический институт им. С.М. Никольского

Развивать новые теории, которые в конечном счете окажутся эффективными при решении старых и новых задач.

1972

Выпускник кафедры математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета. Специальность – «Математика» (научный руководитель – профессор Э.Р. Цекановский).

1971-1976

Работал в Институте экономики промышленности АН УССР.

1976-1978

Инженер в донецком НИИ угольной промышленности.

1977

Защитил кандидатскую диссертацию «О приведении несамосопряженных операторов к простейшему виду».

1978-1994

Ассистент (до 1991 г.), доцент кафедры математической физики Донецкого политехнического института.

1991

Присвоено ученое звание доцента.

1994-2007

Доцент кафедры математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета.

2006

Преподавал в Университете штата Мичиган (Michigan State University – MSU, США).

2007 – 2017

Ведущий научный сотрудник Института прикладной математики и механики Национальной академии наук Украины.

2010

Защитил докторскую диссертацию «Вопросы единственности, полноты и само-сопряженности в краевых задачах для систем ОДУ».

2018 – н.в.

Профессор Математического института им. С.М. Никольского РУДН.

Член редколлегии международных математических журналов:

  • Mathematische Nachrichten, Germany;
  • Methods of Functional Analysis and Topology (MFAT);
  • Ukrainian Mathematical Bulletin, Ukraine.

Член профессиональных/научных сообществ:

  • Американское математическое общество (American Mathematical Society);
  • Международная ассоциация математической физики (International Association of Mathematical Physics).

Преподавание

В период 1994-2014 г. читал для студентов магистратуры ряд специальных курсов:

  • Теория целых функций;
  • Обратные задачи для уравнения Штурма-Лиувилля;
  • Теория расширений симметрических операторов и ее применения к граничным задачам;
  • Вопросы полноты и базисности системы корневых векторов для несамосопряженных граничных задач;
  • Спектральная теория операторов (семинар);

Под научным руководством М.М. Маламуда 10 аспирантов Донецкого национального университета защитили кандидатские диссертации, а 2 из них – докторские диссертации.

Наука

  • Рассмотрены системы дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале с невырожденной диагональной матрицей B при производной и суммируемой потенциальной матрицей Q, имеющей нулевую диагональ. Доказано, что потенциальная матрица Q однозначно определяется по матрице монодромии W(λ). В случае В=В* указано минимальное число элементов матрицы W(λ), достаточное для однозначного определения матрицы Q. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка построены треугольные операторы преобразования. Решена обратная задача о восстановлении потенциальной матрицы по спектральной матрице функции. Результат применен для описания спектральных типов системы типа Дирака.
  • Исследованы спектральные свойства операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями. В рамках теории расширений изучается одномерный симметрический оператор Шрёдингера HX,α с d-взаимодействиями на дискретном множестве. Применяя аппарат граничных троек и соответствующих им функций Вейля, найдена связь операторов HX,α с одним классом матриц Якоби. Обнаруженная связь позволила получить условия самосопряженности, полуограниченности снизу, дискретности спектра, а также дискретности отрицательной части спектра исследуемого оператора.
  • Исследованы детерминанты возмущения и формулы следов для пар диссипативных и самосопряженных операторов. Развит метод двойных операторных интегралов для доказательства формул следов для функций сжатия, диссипативных операторов, унитарных операторов и самосопряженных операторов.
  • Изучены абсолютно непрерывный спектр и матрица рассеяния операторов различных классов. Найдена формула для матрицы рассеяния (S-матрицы), выражающая ее через предельные значения функции Вейля и граничные операторы. Для эллиптических граничных задач во внешних областях найдена формула, выражающая S-матрицу через оператор-функцию Дирихле-Неймана. Найдена связь с теорией рассеяния Лакса-Филипса.
  • Изучены вопросы полноты и базисности Рисса систем корневых векторов граничных задач для систем ОДУ. Введена новая концепция слабо регулярных граничных условий для n × n систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянной диагональной матрицей B при первой производной. Доказано, что система корневых функций краевых задач такого типа на конечном интервале полна и минимальна. Также было установлено выполнение свойства базиса Рисса для некоторых классов граничных условий. Для 2 × 2 системы типа Дирака с суммируемой потенциальной матрицей было установлено свойство базисности Рисса для строго регулярных граничных условий.
  • Опубликовано более 150 научных статей в центральных международных математических журналах, в том числе в Journal of Functional Analysis, Journal of Differential Equations, Annales Henri Poincaré, Advances in Mathematics, Transactions of American Mathematical Society, издана монография Деркач В. А., Маламуд М. М. «Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи», Киев, 2017.

Научные интересы

  • Обратные спектральные задачи для систем ОДУ.
  • Спектральная теория операторов Шредингера и Дирака.
  • Детерминанты возмущения и формулы следов для пар несамосопряженных и самосопряженных операторов.
  • Матрица рассеяния для пар самосопряженных и несамосопряженных операторов.
  • Вопросы полноты и базисности несамосопряженных операторов с дискретным спектром.
Рассматривается симметричный оператор с несколькими лакунами. Хорошо известно (теорема Фридрихса - Крейна), что в случае одной лакуны всегда существует самосопряженное расширение, сохраняющее лакуну. В случае двух и более лакун это не так. В работе решена задача М.Г. Крейна: найден критерий существования самосопряженных расширений, вообще говоря, с выходом из основного гильбертова пространства, которые сохраняют все лакуны.
Рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка на конечном интервале с невырожденной диагональной матрицей B при производной и суммируемой потенциальной матрицей Q, имеющей нулевую диагональ. Доказывается, что потенциальная матрица Q однозначно определяется по матрице монодромии W(λ). В случае В=В* указано минимальное число элементов матрицы W(λ), достаточное для однозначного определения матрицы Q.
Получен критерий подобия несамосопряженного оператора с вещественным спектром в гильбертовом пространстве. Приведены некоторые достаточные условия подобия несамосопряженного оператора с хорошо определенной мнимой частью самосопряженному оператору. В частности, доказано, что оператор подобен самосопряженному с абсолютно непрерывным спектром при условии, что $ j $ -формы характеристической функции ограничены в обеих полуплоскостях. Приведены достаточные условия того, что треугольный несамосопряженный оператор подобен самосопряженному. В диссипативном случае указан критерий подобия, обобщающий результат И. Гоберга и М. Крейна.
В статье найдены условия, при которых индексы дефекта гамильтоновых систем первого порядка на полуоси (или оси) были минимальными и максимальными. Кроме того, приведены условия того, чтобы дефектные числа были промежуточными. Это охватывает предыдущие результаты Каца--Крейна, де Бранжа, Когана и Рофе-Бекетова. Получены также условия самосопряженности матричного четырех-членного уравнения Штурма-Лиувилля. Этот результат существенно обобщает классическую теорему Титчмарша-Сирса и охватывает предыдущие результаты Лидского, Крейна, де Бранжа.
Рассматривается задача Крейна об описании L2-пространства, построенного по операторнозначной (необязательно ортогональной) мерой в гильбертовом пространстве. Разработана спектральная теория операторных мер. В частности, для произвольной операторной меры вводится функция кратности, а также типы Хеллингера. Доказано, что множество всех главных векторов произвольной операторной меры в гильбертовом пространстве является массивным, т.е. является плотным G-множеством. В частности, показано, что множество главных векторов самосопряженного оператора является массивным в любом циклическом подпространстве. Доказано, что подпространства, реализующие типы Хеллингера, существуют и образуют массивное множество.
В рамках теории расширений изучается одномерный симметрический оператор Шрёдингера HX,α с -взаимодействиями на дискретном множестве. Применяя аппарат граничных троек и соответствующих им функций Вейля, найдена связь операторов HX,α с одним классом матриц Якоби. Обнаруженная связь позволила получить условия самосопряженности, полуограниченности снизу, дискретности спектра, а также дискретности отрицательной части спектра исследуемого оператора.
Рассматриваются замкнутые (в частности, самосопряженные) реализации эллиптического дифференциального выражения второго порядка на гладкой (ограниченной или неограниченной) области с компактной границей. Получены оценки числа отрицательных собственных значений некоторых самосопряженных расширений неотрицательного минимального оператора. Результаты расширяют и улучшают классические теоремы Вишика, Повзнера, Бирмана и Грубб.
Введена новая концепция слабо регулярных граничных условий для n × n систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянной диагональной матрицей B при первой производной. Доказано, что система корневых функций краевых задач такого типа на конечном интервале полна и минимальна. Также было установлено выполнение свойства базиса Рисса для некоторых классов граничных условий. Для 2 × 2 системы типа Дирака с суммируемой потенциальной матрицей было установлено свойство базисности Рисса для строго регулярных граничных условий.
Исследованы спектральные свойства гамильтониана Шредингера с бесконечным числом точечных взаимодействий. В частности, указаны специальные конфигурации точек, такие что неотрицательные части всех реализаций абсолютно непрерывны. Важная особенность предложенного подхода основана на связи с классом радиально положительно определенных функций.