Савчин Владимир Михайлович
Доктор физико-математических наук
Гляди в корень!
1981
С отличием окончил УДН им. П.Лумумбы по специальности «Математика». За время учебы получил также квалификацию переводчика с французского языка на русский язык.
1981-1984
Аспирант УДН им. П.Лумумбы.
1984
Защитил кандидатскую диссертацию на тему: «Обратные задачи механики Остроградского».
1984-1987
Сотрудник вычислительного центра УДН, старший преподаватель кафедры.
1987-1988
Научная командировка в Калифорнийский университет г. Санта-Барбара (США), The University of California, Santa Barbara.
1988-1993
Старший преподаватель, доцент кафедры математики и информатики УДН.
1992
Защитил в МГУ им. М.В.Ломоносова диссертацию на тему: «Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем» на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.
1995
Присвоено звание профессора.
1993-2005
Профессор кафедры математического анализа.
2005-2018
Профессор кафедры математического анализа и теории функций.
2010
Благодарность Федерального Агентства по Образованию.
2013
Нагрудный знак и почетное звание «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации».
2017
Почетный знак «Ветеран РУДН».
2018-н.в.
Профессор Математического института им. С. М. Никольского.
Преподавание
- Подготовил ряд новых спецкурсов для студентов магистратуры, в частности:
- «Вариационные методы исследования операторов» (направление «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях»),
- «Обратные задачи вариационного исчисления» (направление «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях»).
- В РУДН читает курсы:
- «Математический анализ» (направление «Прикладная математика и информатика») для студентов бакалавриата,
- «Вариационные методы исследования операторов» ( направление «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях») для студентов магистратуры,
- «Обратные задачи вариационного исчисления» (направление «Функциональные методы в дифференциальных уравнениях и междисциплинарных исследованиях») для студентов магистратуры.
Наука
Автор монографий:
- Математические методы механики бесконечномерных систем. М.: Изд-во УДН, 1991.237 с.,
- Вариационные принципы для непотенциальных операторов//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения.М.:ВИНИТИ, 1992.Т.40. С.3-178 (Соавторы: Филиппов В.М., Шорохов С.Г.) (переведена и издана в США).
- Исследования тесно связаны с работами Г. Гельмгольца, Дж. Биркгофа и др. по вариационным принципам для конечномерных систем. Представлял теоретический и практический интерес вопрос о распространении и развитии их результатов на случай бесконечномерных систем. Он взаимосвязан с задачами современной гамильтоновой механики, существованием решений обратных задач вариационного исчисления для заданных уравнений и такими алгебраическими структурами как алгебрами Ли и Ли-допустимыми алгебрами. Основные работы посвящены развитию математических методов механики бесконечномерных систем, разработке методов построения вариационных формулировок уравнений движения бесконечномерных непотенциальных систем и их приложениям к конкретным проблемам (представление эволюционных уравнений в виде уравнений Гамильтона, введение скобок Пуассона и симметрических скобок в эйлеровых и неэйлеровых классах функционалов, выявление алгебраических структур, связанных с уравнениями движения, нахождение симметрий и первых интегралов эволюционных уравнений).
- Получил общий критерий В-потенциальности операторов относительно локальных билинейных форм.
- Разработал конструктивные методы построения интегральных вариационных принципов для широких классов уравнений движения бесконечномерных непотенциальных систем с использованием эйлеровых и неэйлеровых функционалов.
- Установил взаимосвязь между уравнениями движения непотенциальных систем с различными скобками Пуассона и Ли-допустимыми алгебрами и на этой основе расширил область применения методов классической гамильтоновой механики.
- Получил операторное уравнение – аналог обыкновенных дифференциальных уравнений Биркгофа - и установил его значение в механике бесконечномерных систем. Нашел условия представления заданных эволюционных уравнений в виде операторного уравнения Биркгофа и формулы для построения соответствующих операторов.
- Распространил методы исследования канонических уравнений ранга большего нуля на бесконечномерные непотенциальные системы.
- Впервые поставил обратную задачу вариационного исчисления для весьма общей системы дифференциально-разностных уравнений с частными производными и получил условия ее потенциальности типа Гельмгольца.
- Разработал операторный подход, позволяющий по единой методике исследовать ряд свойств уравнений движения как конечномерных, так и бесконечномерных систем.
- Теоретические результаты применены, в частности, к системе уравнений Навье-Стокса, описывающей течение жидкостей, к уравнению Кортевега-де-Фриза, описывающему нелинейные волны, в исследованиях ряда диссипативных систем.
Научные интересы
- вариационные принципы для непотенциальных операторов,
- обратные задачи вариационного исчисления,
- симметрии,
- взаимосвязь динамических систем с алгебраическими структурами.
Излагаются многочисленные подходы построения вариационных принципов для уравнений с операторами, которые, вообще говоря, не являются потенциальными. При этом отдельно рассматриваются как линейные, так и нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения с частными производными. Приводятся построения и исследования как экстремальных, так и стационарных вариационных принципов, а также даны приложения этих принципов в теоретической физике и в аналитической механике. Указан ряд нерешенных проблем.
Предназначается для математиков, физиков, работающих как в теоретических областях, так и в приложениях, а также для аспирантов и студентов физических и математических специальностей вузов.
Введено понятие Вu-потенциальности оператора N относительно локальной билинейной формы и найдены необходимые и достаточные условия такой обобщенной потенциальности. Получены также формулы, определяющие соответствующий интегральный вариационный принцип. Теоретические результаты проиллюстрированы на двух примерах.
В терминах необходимых и достаточных условий установлена структура операторов заданного эволюционного уравнения, допускающего прямую вариационную формулировку относительно фиксированной.
Описана весьма общая структура Ли-допустимой алгебры в действительном линейном пространстве дифференцируемых по Гато операторов. Она является естественным обобщением скобки Ли.
Построен полуограниченный функционал, принимающий минимальное значение на решениях краевой задачи для нелинейных нестационарных уравнений Навье-Стокса.
С использованием методов нелинейного функционального анализа определена структура заданного эволюционного операторного уравнения, допускающего прямую вариационную формулировку.
Используя методы нелинейного функционального анализа, определяется структура эволюционного операторного уравнения второго порядка, допускающего прямую вариационную формулировку.
Исследована задача о существовании прямых вариационных формулировок для широкого класса эволюционных уравнений второго порядка.
Исследован вопрос о существовании вариационных принципов для широких классов в общем случае нелинейных дифференциально-разностных уравнений с непотенциальными операторами.
В работе установлена взаимосвязь между симметриями функционалов и соответствующих им уравнений Эйлера–Лагранжа. Исследован также аналогичный вопрос в случае уравнений с квази-Bu-потенциальными операторами.
В работе установлена взаимосвязь между симметриями функционалов и соответствующих им уравнений Эйлера–Лагранжа. Исследован также аналогичный вопрос в случае уравнений с квази-Bu-потенциальными операторами.
Получены необходимые и достаточные условия представления операторного уравнения с первой производной по времени в виде Гамильтона-допустимого уравнения.
Операторное уравнение со второй производной по времени представлено в форме Гамильтона-допустимого уравнения. Установлена взаимосвязь между решениями Гамильтона-допустимых уравнений и соответствующих уравнений Гамильтона.
Использование вариационных методов для построения достаточно точных приближенных решений данной системы требует существования соответствующего вариационного принципа - решения обратных задач вариационного исчисления. В рамках функционалов Эйлера могут не существовать вариационные принципы. Но если расширить класс функционалов, то это может позволить получить вариационные формулировки данных задач. Естественно, возникает проблема конструктивного определения соответствующих функционалов - неклассических действий Гамильтона - и их применения для поиска приближенных решений заданных краевых задач. Основная цель работы - представить схему построения косвенных вариационных формулировок для заданных эволюционных задач и продемонстрировать эффективное использование неклассического действия Гамильтона для построения приближенных решений с высокой точностью для данной диссипативной задачи.
Используя методы нелинейного анализа, установлена связь между первыми интегралами и абсолютными интегральными инвариантами некоторых эволюционных уравнений аналогично случаю динамики конечномерных систем.
Вводятся общие структуры допустимых алгебр Ли в пространствах дифференцируемых по Гато операторов и устанавливается их связь с симметриями операторных уравнений и механикой бесконечномерных систем.
Основная цель работы - представить схему построения косвенных вариационных формулировок для заданных эволюционных задач и продемонстрировать эффективное использование неклассических гамильтоновых действий для построения приближенных решений с высокой точностью для данной диссипативной задачи. В работе используются понятия и методы нелинейного функционального анализа и современного вариационного исчисления.
Работы С. Л. Соболева по малоамплитудным колебаниям вращающейся жидкости в 1940-е годы вызвали большой интерес. После их публикации И. Г. Петровский подчеркнул важность изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно производной по времени высшего порядка. В связи с этим закономерно изучение вопроса о существовании их вариационных формулировок. Ее можно рассматривать как обратную задачу вариационного исчисления. Основной целью данной работы является изучение этой проблемы для системы Соболева. Ключевым объектом является критерий потенциальности. На этой основе доказана непотенциальность оператора краевой задачи для системы уравнений в частных производных Соболева относительно классической билинейной формы. Показано, что эта система не допускает матричного вариационного множителя заданной формы. Таким образом, уравнения системы Соболева не могут быть выведены из классического принципа Гамильтона. Ставится вопрос о том, существует ли функционал, полуограниченный на решения данной краевой задачи. Предложен алгоритм конструктивного определения такого функционала. Основным преимуществом построенного функционала-действия является возможность применение прямых вариационных методов.
Основная цель данной статьи—исследование потенциальности дискретной системы, полученной из системы вида C(t,u)u˙(t)+E(t,u)=0 с непрерывным временем. Введено определение потенциальности соответствующей дискретной системы. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно заданной билинейной формы. Изложен алгоритм построения соответствующего функционала —аналога действия по Гамильтону. Дан иллюстрирующий пример.
Подразумевая под бивариационной системой любую систему уравнений, порожденную двумя разными гамильтоновыми действиями, мы устанавливаем связь между их вариационными симметриями. Для диссипативной задачи мы показываем эффективность использования неклассических гамильтоновых действий для построения приближенных решений с высокой точностью. Для заданного операторного уравнения с второй производной по времени мы исследуем его потенциальность, строим соответствующий функционал и находим необходимые и достаточные условия того, что оператор S является генератором симметрии построенного функционала. Теоретические результаты иллюстрируются примерами.
Основная цель настоящего исследования триедина и состоит, во-первых, в построении косвенного вариационного принципа Гамильтона для задачи о движении маятника с точкой подвеса, совершающей малые колебания вдоль прямой, составляющей малый угол наклона с вертикалью. Во-вторых, в построении на его основе соответствующей разностной схемы. В-третьих, в ее исследовании методами численного анализа. Доказано, что оператор исходной краевой задачи не является потенциальным относительно классической билинейной формы. Найден соответствующий вариационный множитель и построен косвенный вариационный принцип Гамильтона. На его основе получен дискретный аналог исходной краевой задачи и построено ее решение. Отсюда как частные случаи получаются соответствующие утверждения для указанной задачи о движении маятника. Проведен ряд численных экспериментов, характеризующих зависимость решений задачи о движении маятника от изменения параметров. Представлен вариационный подход к построению двух различных разностных схем для задачи о движении маятника с точкой подвеса, совершающей малые колебания вдоль прямой, составляющей малый угол с вертикалью. Приведены результаты численного моделирования при различных параметрах задачи. Численные решения показывают, что при достаточно малой амплитуде колебаний и достаточно большой частоте колебаний точки подвеса маятник совершает периодическое движение.