Савин Антон Юрьевич
1997

Выпускник кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления, факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет (МГУ) имени М.В. Ломоносова, специальность – «Прикладная математика».

2000

Кандидатская диссертация на тему «Эллиптические операторы в подпространствах и их приложения», МГУ имени М.В. Ломоносова, научный руководитель – профессор Б.Ю. Стернин.

2007

Победитель конкурса Пьера Делиня для молодых российских математиков.

2012

Докторская диссертация на тему «Теория индекса нелокальных эллиптических задач», Российский университет дружбы народов, научный консультант – профессор Б.Ю. Стернин.

2014

Победитель конкурса фонда Саймонса для математиков преподавателей-исследователей.

Преподавание 

1. Подготовил ряд учебных курсов, из которых наиболее значимые следующие:

  • «К-теория и теорема Атьи-Зингера об индексе» (Потсдамский университет, 2003) – K-theory and Atiyah-Singer index theorem;
  • «Оператор Дирака» (Независимый московский университет, 2005);
  • «Элементы вариационного исчисления в целом» (Независимый московский университет, 2006);
  • «Дифференциальные уравнения на комплексных многообразиях» (Независимый московский университет, 2015);
  • «Методы оптимизации» (РУДН, 2016).

2. В РУДН читает курсы для студентов бакалавриата и магистратуры:

  • «Дифференциальные уравнения» (направление «прикладная математика и информатика»);
  • «Уравнения математической физики» (направление «прикладная математика и информатика»);
  • «Методы оптимизации» (направление «прикладная математика и информатика»);
  • «Элементы алгебраической топологии» (специализация «нелинейный анализ, оптимизация и математическое моделирование»).
     

Наука

  • Проводятся исследования по теории эллиптических G-операторов, ассоциированных с представлениями групп. В случае групп сдвигов получены новые формулы индекса; в случае групп Ли показано, что условие эллиптичности необходимо накладывать только на специальном подпространстве кокасательного расслоения (так называемое понятие трансверсальной эллиптичности). Результаты применяются в некоммутативной геометрии, в частности, дано новое доказательство формулы Конна для индекса на некоммутативном торе, предъявлен класс Тодда многообразия в циклических когомологиях скрещенных произведений.
  • Рассмотрено приложение методов некоммутативной геометрии в теории краевых задач для гиперболических уравнений с данными на всей границе. Такие задачи сводятся на границу. При этом оператор на границе исследуется методами теории G-операторов. Установлена фредгольмова разрешимость таких задач. Аналогичные задачи нашли приложение в теории квантовых аномалий в работах Бэра, Штромайера, Уолтерса (Bär, Strohmaier, Walters) и др. Поэтому можно ожидать приложений результатов и в этом круге вопросов.
  • Дана формула для дробной части эта-инварианта Атьи-Патоди-Зингера (Atiyah-Patodi-Singer) операторов с условием чётности в топологических терминах. А именно, показано, что дробная часть равна индексу зацепления в К-теории. Также предъявлены операторы с нетривиальной дробной частью эта-инварианта. Тем самым решена проблема, поставленная известным американским математиком Питером Гилки (Peter Gilkey). Эта проблема состояла в том, чтобы предъявить операторы чётного порядка на нечётномерных многообразиях с нетривиальной дробной частью эта-инварианта, или доказать, что таких операторов нет.
  • Получена гомотопическая классификация эллиптических операторов на стратифицированных многообразиях общего вида в терминах К-гомологий Каспарова. Также получена классификация эллиптических операторов на многообразиях с углами (в смысле Мельроуза (Melrose)). Это даёт важную связь между анализом и топологией и, в частности, позволяет применять к исследованию операторов топологические методы.
  • По итогам исследований опубликовано 3 зарубежные монографии и более 70 научных статей. Работы поддерживаются грантами Российского фонда фундаментальных исследований, Немецкого научно-исследовательского общества, Немецкой службы академических обменов.

Научные интересы

  • теория индекса эллиптических операторов;
  • применение топологических методов для исследования нелокальных эллиптических задач, краевых задач, задач Соболева, уравнений на многообразиях с особенностями и др.
  • применение методов некоммутативной геометрии (K-теория, С*-алгебры, циклические гомологии и др.) к задачам эллиптической теории;
  • асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений;
  • дифференциальные уравнения на комплексных многообразиях и их приложения в геофизике и радиофизике.
     
Даётся формула для η-инварианта операторов нечётного порядка на чётно-мерных многообразиях и для операторов чётного порядка на нечётно-мерных многообразиях. Найдены операторы второго порядка с нетривиальными η-инвариантами. Тем самым решается проблема, поставленная П. Гилки.
Эллиптические операторы на гладком компактном многообразии классифицируются К-гомологиями. Мы доказываем, что аналогичная классификация также имеет место для многообразий с простейшими особенностям типа конических точек и рёбер. Основными ингредиентами доказательства этих результатов являются разностная конструкция типа Атьи-Зингера в некоммутативном случае и изоморфизм Пуанкаре в К-теории многообразий с особенностями. В качестве приложения мы даём формулу в топологических терминах для препятствия к существованию фредгольмовых задач на многообразиях с рёбрами.
Развивается эллиптическая теория для операторов, ассоциированных с диффеоморфизмом гладкого замкнутого многообразия. Цель работы состоит в том, чтобы получить формулу индекса таких операторов в терминах топологических инвариантов многообразия и символа оператора. Символ в этом случае является элементом некоторого скрещенного произведения. Мы выражаем индекс как спаривание класса в К-теории, определяемого символом, и класса Тодда в периодических циклических когомологиях скрещенного произведения.