Вырожденная нелинейная эйнштейновская модель броуновского движения в потоках жидкости и хемотаксисе

Моделирование движения ансамбля живых организмов в направлении химических агентов(субстратов) на основе системы эволюционных уравнений с анти-диффузией.

Будет использован метод броуновского движения Эйнштейна, чтобы вывести хемотаксическую модель, обладающей решением в виде бегущей волны. Классическая модель Эйнштейна броуновского процесса таким свойством не обладает. Насколько известно, это был первый случай, когда метод Эйнштейна был использован для обоснования уравнений, которые описывают взаимное взаимодействие хемотаксической системы. Ученый покажет, что при наличии ограниченного и неограниченного субстрата возможны бегущие волны типа колоколообразной формы или типа «КПП полочки». В ходе исследования ученый получил линеаризованную систему относительно установившегося состояния. Он нашел явные условия линейной неустойчивости и устойчивости при однородных граничных условиях и дал биологическую интерпретацию полученному результату.

Модификация модели Эйнштейна путем введения зависимости матрицы диффузии от концентрации частиц.

Предполагая исчезновение диффузии для малых концентраций, модифицированная модель успешно разрешает парадокс и устанавливает существование конечной скорости распространения. Однако недавние достижения в области случайных процессов устранили парадокс, который связан с этой моделью. В частности, она предсказывает бесконечную скорость распространения, что противоречит второму началу термодинамики. Поэтому подход ученого расширяет модель Эйнштейна, интегрируя существенную модификацию, которая разрешает парадокс. Эта модификация позволяет более точно описать поведение нелинейных потоков в пористых средах, сохраняя при этом соблюдение фундаментальных принципов термодинамики. Метод, используемый в этом анализе, включает методы характерные для нелинейного вырождающегося параболического уравнения в частных производных в дивергентной форме.