Что такое управляемая система с последействием и причём тут самолёты?

Система управления — набор средств для управления подконтрольным объектом, им может быть любая динамическая система или её модель. Состояние объекта характеризуется некоторыми количественными величинами, изменяющимися во времени. При описании большинства явлений раньше предполагалось, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности: будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим (чаще всего при этом система описывается уравнением, содержащим переменные состояния и скорости их изменений, т.е. приходим либо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к дифференциальному уравнению в частных производных).

Однако при более тщательном изучении часто становится очевидным, что это лишь первое приближение к истинной ситуации, и более реалистичная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы. Если, допустим, это какая-то физическая или техническая задача, то сила, действующая на материальную точку, зависит от положения и скорости точки не только в данный момент времени, но и в момент времени, предшествующий данному. Другими словами, состояние эволюционирующей системы в любой момент времени влияет на характер эволюции (скорость, ускорение) не только в тот же момент времени, но и в последующие. Этот эффект называется запаздыванием или последействием. Таким образом, речь идет о процессах, в которых принципиально имеется запаздывание, причем наличие такого запаздывания зачастую существенно влияет на ход процесса. В случае системы управления с последействием на состояние объекта также влияет его предшествующая конфигурация.

Как эта задача связана с самолётами?

Исследуемая математическая модель описывает многие реальные системы управления с обратной связью. Например, стабилизация высоты полёта пассажирского самолёта. Процессом набора высоты управляет ряд устройств: авиационные двигатели, рули высоты и другие. Но поскольку для работы указанных устройств мы должны иметь информацию от датчиков высоты, а эта информация поступает и обрабатывается с некоторым запаздыванием, указанный динамический процесс описывается дифференциально-разностными уравнениями, содержащими как значения высоты и её производных в данный момент времени t, так и значения указанной функции в предшествующий момент времени t-Δ, когда измерялась данная информация. Такие уравнения называются дифференциально-разностными уравнениями.

Однако, в теории систем управления с последействием, возникающим из-за наличия обратной связи, возникает проблема об успокоении этой системы за конечное время. Эта задача была решена Н.Н. Красовским для стационарных систем, описываемых системами дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа. В настоящем исследовании рассматриваются дифференциально-разностные уравнения нейтрального типа.

«Для того, чтобы система успокоилась в случае обыкновенных уравнений, нужно привести её в состояние равновесия, потом отключить управление. Если это линейная система, то она так и останется без внешних воздействий в нулевом состоянии. Однако, в рассматриваемом случае есть запаздывание. Поэтому на поведение системы влияет её предыстория. Даже если привести её в ноль, то систему нужно удержать в нуле то время, которое соответствует запаздыванию. Таким образом, решений задачи бесконечное множество. Важно найти решение, дающее наименьший расход энергии», — Амина Адхамова.

Несмотря на то, что решений данной задачи бесконечное множество, для поиска оптимального решения необходимо минимизировать квадратичный функционал, после перейти к эквивалентной краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка и найти её классическое решение.

Главным отличием настоящего исследования, что параметры реальной системы управления зависят от времени, то есть система может по-разному работать в разные моменты времени, хотя ранее рассматривались системы с постоянными коэффициентами, которые отображают только модельную составляющую системы. Наряду с этим исследуемая система многомерная, так как в реальной системе управления много различных параметров.