Коллектив учёных под руководством профессора РУДН получил грант РНФ на изучение нелинейных уравнений

Суть исследования

Проект посвящён изучению критериев существования и несуществования глобальных решений (так называемое свойство Лиувилля) для широких классов квазилинейных стационарных и нестационарных систем нелинейных уравнений с нестепенными нелинейностями. Это фундаментальная математическая проблема, имеющая далеко идущие прикладные следствия.

В числе ключевых задач: 

• изучение глобальной разрешимости и blow-up (разрушение решения, когда решение теряет гладкость и уходит в бесконечность за конечное время) для задач диффузионно-дрейфовых и теплоэлектрических процессов в кристаллических полупроводниках; 
• исследование свойств сред с мультифрактальной диффузией.

Работа ведётся на стыке нескольких научных направлений: дифференциальных уравнений, математической физики, биоматематики и финансовой математики.

Команда проекта

Руководит проектом Андрей Евгеньевич Шишков — директор Научного центра нелинейных задач математической физики РУДН.

В составе коллектива — ведущие специалисты из РУДН, МГУ им. М.В. Ломоносова и МГТУ им. Н.Э. Баумана:

• Ольга Сергеевна Розанова — доктор физико-математических наук, профессор МГУ; 
• Максим Олегович Корпусов — доктор физико-математических наук, профессор МГУ;
• Дарья Андреевна Неверова — кандидат физико-математических наук, доцент РУДН;
• Лидия Владимировна Гаргянц — кандидат физико-математических наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана; 
• Анна Витальевна Коновалова — аспирант МГУ; 
• Кристина Владимировна Буслова — аспирант МГУ;
• Александра Константиновна Матвеева — аспирант МГУ; 
• Василий Михайлович Озорнин — аспирант МГУ; 
• Семён Сергеевич Борунов — студент РУДН.

От фундаментальной математики — к радарам нового поколения

Одно из ключевых прикладных направлений проекта — математический анализ задач диффузионно-дрейфовых и теплоэлектрических процессов в кристаллических полупроводниках. Эти исследования имеют прямое отношение к созданию радаров нового поколения для обнаружения гиперзвуковых объектов — важнейшей задачи оборонной промышленности.

Результаты проекта также находят применение в биоматематике: математическое моделирование формирования генома под действием мутаций (мультифрактальная диффузия) и моделирование воспалительных процессов. Ещё одна область применения — финансовая математика, где модели с мультифрактальной диффузией используются для анализа динамики рынков.

Исследования ведутся в тесном сотрудничестве с зарубежными партнёрами Indian Institute of Technology Bhubaneswar (Индия), University of Lyon (Франция), University of Texas (США) и Polish Academy of Sciences (Польша).

Научные результаты и публикационная активность

За предыдущий период реализации проекта (2023–2025 годы) коллективом опубликовано 35 научных работ, из них 21 — в изданиях Web of Science / Scopus, в том числе 6 — в журналах первого квартиля (Q1).

Среди ключевых публикаций: 

• Rozanova O.S. Criterion of singularity formation for radial solutions of the pressureless Euler-Poisson equations // J. Math. Anal. Appl. 548 (2025), Q1; 
• Faminskii A.V. Global weak solutions of an initial-boundary value problem for the higher order nonlinear Schrodinger equation // J. Math. Anal. Appl. 553 (2024), Q1; 
• Konkov A.A., Shishkov A.E. On blow-up conditions for nonlinear higher order evolution inequalities // J. Evol. Equat. 24 (2024), 97, Q1; 
• Konkov A.A., Shishkov A.E. On blow-up conditions for solutions of a class of second order elliptic inequalities // J. Math. Anal. Appl. 546 (2025), Q1; 
• Rozanova O.S., Turzynsky M.K. Linearization method and sharp thresholds for radially symmetric Euler-Poisson equations // J. Dyn. Differ. Equ. 37 (2025), Q1.

В планах опубликовать не менее 15 новых работ в ведущих международных журналах.

Перспективные результаты

В ходе реализации проекта учёные планируют: 

• сформулировать критерии лиувиллевости для систем квазилинейных уравнений с нестепенными нелинейностями; 
• установить условия blow-up и глобальной разрешимости для систем уравнений диффузионно-дрейфовой и теплоэлектрической моделей полупроводника; 
• получить новые результаты о свойствах мультифрактальной диффузии и формировании структур; 
• вывести критерии образования особенностей для уравнений холодной плазмы и доказать теоремы существования.

Результаты проекта имеют не только фундаментальное, но и образовательное значение. Их планируется внедрить в учебные курсы по дифференциальным уравнениям и математической физике в РУДН, МГУ им. М.В. Ломоносова, МФТИ и НИУ ВШЭ.