Математики РУДН и ИБРАЭ РАН предложили экспресс-вариант расчета распространения света

Математики РУДН и Института проблем безопасного развития атомной энергетики (ИБРАЭ) РАН предложили численный метод  решения уравнений по распространению света в среде. За основу они взяли нелинейное уравнение эйконала с граничными условиями. Такая задача не решается напрямую, поэтому математики построили численный метод, провели расчеты и получили картину поведения таких решений. Результаты математиков  могут стать основой для полноценной теории приближенных решений подобных дифференциальных уравнений. Метод можно будет применить при производстве линз и оптических кристаллов. Статья опубликована в журнале Journal of Computational and Applied Mathematics.

Уравнение эйконала – нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных. Оно описывает распространение света в среде и необходимо для решения задач оптики. С его помощью удается связать геометрическую оптику, которую проходят в школе, с волновой оптикой, которая описывается сложными уравнениями.

Традиционно для численного решения (то есть получения приближенного решения с достаточно высокой точностью) уравнения эйконала используют метод, который базируется на решении большой системы нелинейных уравнений.

Математики РУДН и ИБРАЭ использовали другой подход, который позволяет проще решать задачу для нелинейного уравнения эйконала численным методом. Для этого в уравнении делается замена переменных с добавлением параметра. После замены получаются новые уравнения, которые, с одной стороны, проще исходных — задача линейная. С другой стороны, их решения не являются решениями исходной системы. Однако при уменьшении параметра решения новой системы приближаются к решениям исходной.

Математики постепенно (с некоторым фиксированным шагом) уменьшали значение добавленного параметра и для каждого такого значения решали уравнение численно. Для каждого следующего значения параметра полученное решение сравнивалось с предыдущими вариантами. С уменьшением параметра решения изменялись все меньше и меньше, то есть результат расчетов стабилизировался. Как оказалось, решение с хорошей точностью находится при не очень малом значении параметра. Полученное решение бралось как приближение изначального уравнения.

Математики продемонстрировали, что такой метод показывает достаточно хорошие результаты на представительных модельных задачах.

«Вычислительная сложность – так называемые «вычислительные затраты» рассматриваемого нами подхода не больше, чем в других подходах. Но мы решаем линейную краевую задачу, что, конечно, менее трудоемко, чем решение нелинейной задачи», – пояснил автор исследования Петр Вабищевич, сотрудник Научного центра вычислительных методов в прикладной математике РУДН.

Вабищевич и его соавторы моделировали уравнение для анизотропных сред. С точки зрения физики, это такая среда, в которой физические свойства распространения света неодинаковы по разным направлениям. Материалы с такими свойствами широко используются сейчас при создании оптических приборов.

Помимо оптики, уравнение эйконала используется для численного решения уравнений, описывающих движение жидкости. Такое моделирование необходимо для создания реалистичной картинки в компьютерной графике - например, в фильме «Пираты Карибского моря» где вода не просто рисовалась, а рассчитывалась на физическом уровне. В этой области скорость расчета, которую потенциально может повысить метод, созданный математиками РУДН и ИБРАЭ, играет ключевую роль.

Статья:
Numerical solution of boundary value problems for the eikonal equation in an anisotropic medium
Численное решение краевых задач для уравнения эйконала в анизотропной среде
Journal of Computational and Applied Mathematics
Volume 362, 15 December 2019, Pages 55-67
DOI: /10.1016/j.cam.2019.05.016
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042719302511?via%3Dihub
Научное направление: Математика
Российский университет дружбы народов (RUDN University)