Гольдман Михаил Львович
Доктор физико-математических наук
Профессор,
математический институт им. с.м. никольского
Современная теория дифференциальных уравнений - это теория операторов в специально построенных и хорошо изученных функциональных пространствах.
1963 – 1972
Студент, аспирант кафедры Математики физического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова (МГУ).
1972
Защитил кандидатскую диссертацию на тему «Об интегральных представлениях и рядах Фурье дифференцируемых функций многих переменных».
1972 – 1974
Научный сотрудник Московского научно-исследовательского и проектного института автоматизированных систем управления в городском хозяйстве (МНИПИ АСУ ГХ).
1974 – 1984
Ассистент по кафедре математики Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА).
1984 ‒ 1990
Доцент по кафедре математики МИРЭА.
1989
Получил степень доктора физико-математических наук, тема докторской диссертации «Исследование пространств дифференцируемых функций многих переменных с обобщенной гладкостью».
1990
Профессор по кафедре математики МИРЭА.
1991
Получил звание профессора.
1991 ‒ 2000
Заведующий кафедрой математики МИРЭА.
1999 ‒ 2018
Профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН.
2018 – н.в.
Профессор Математического института им. С. М. Никольского.
2002
Лауреат конкурса правительства Москвы.
2013
Лауреат премии РУДН в области науки и инноваций.
2017
Лауреат премии РУДН в области научного руководства аспирантами.
Преподавание
- Подготовил ряд новых учебных курсов, из которых наиболее значимые следующие:
- Методические рекомендации к изучению курса «Функциональные пространства ». ( Пространство Lp. Неравенства Гельдера, Минковского. Сходимость в Lp. Классификация пространств Lp). Москва. Изд-во РУДН.-1989. С. 1-49. Соавтор: Буренков В. И.
- Методические рекомендации к изучению курса «Функциональные пространства ». ( Обобщенное неравенство Минковского. Неравенство Харди). Москва. Изд-во РУДН.-1990. С. 1-46. Соавтор: Буренков В. И.
- Методические рекомендации к изучению курса «Функциональные пространства » (Неравенство Юнга. Функции распределения. Перестановки. Интерполяционные теоремы). Москва. Изд-во РУДН.-1992. С. 1-76. Соавтор: Буренков В. И.
- Математический анализ. Элементы теории рядов. Функции комплексного переменного (учебное пособие). Москва.-Изд-во МИРЭА.-1995. С. 1-80. Соавторы: Вшивцев А. С., Потепалова А. Ю.
- Курс алгебры «Алгебраические структуры». Москва, РУДН, 2007, 200 С. Соавтор: Сивкова Е. О.
- Учебно-методический комплекс «Современные проблемы математики» Москва, РУДН, 2015. С. 1-25
- Учебно-методический комплекс «Теория функциональных пространств» Москва, РУДН, 2015. С. 1-21
- Учебно-методический комплекс «Основы функционального анализа» Москва, РУДН, 2015. С. 1-21
- «Аналитическая геометрия. Векторы: учебное пособие». Москва 2015. Изд-во ФГБОУ ВО «Российский технологический университет (МИРЭА)». Соавтор: Сивкова Е. О.
- В РУДН читает курсы для студентов бакалавриата:
- «Аналитическая геометрия» (направление «Математика»)
- «Теория функциональных пространств» (направление «Математика»)
- В РУДН читает курсы для студентов магистратуры:
- «Современные проблемы математики и прикладной математики» (направление «Математика»)
- В 2015 и 2018 г. по приглашению Евразийского Национального университета им. Л. Н. Гумилева (ЕНУ, Казахстан, Астана) прочитал курсы лекций по теории функциональных пространств студентам и докторантам.
- В 2011 г. по приглашению Фридрих-Шиллер Университета (Йена, Германия) прочитал студентам и докторантам курс лекций по теории функциональных пространств обобщенной гладкости.
- В 2018 г. по приглашению Владикавказского Научного Центра РАН прочитал на Владикавказской молодежной математической школе (ВММШ-2018) курс по теории идеальных оболочек для конусов функций со свойствами монотонности
- В качестве зарубежного руководителя руководит совместно с профессорами Лейлой Кабиденовной Кусаиновой и Нуржаном Адилхановичем Бокаевым (ЕНУ, Астана) обучением докторантов ЕНУ в области теории функциональных пространств.
Наука
- Получен ряд важных результатов по оптимальным вложениям пространств дифференцируемых функций, теории следов и продолжений. В частности, дано точное описание пространства следов для обобщенных пространств Лизоркина - Трибеля. Также описано пространство следов и установлено отсутствие линейных операторов продолжения в предельном случае теоремы о следах для обобщенных пространств Бесова. Результаты имеют важные приложения для корректной постановки краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных.
- Исследованы оптимальные интегральные свойства функций для различных пространств дифференцируемых функций, таких как обобщенные пространства Соболева, Никольского-Бесова и Кальдерона, а также обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса и установлены для них точные описания перестановочно инвариантных оболочек. Получены точные характеристики дифференциальных свойств потенциалов в терминах их равномерных модулей непрерывности. Найдены оптимальные пространства Кальдерона для вложения обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Результаты важны для построения теории оптимальных вложений пространств обобщенной гладкости.
- Получены точные описания оптимальных нормированных и квазинормированных оболочек для конусов функций со свойствами монотонности в терминах теории идеальных и перестановочно инвариантных пространств. Исследованы оценки интегральных операторов в весовых пространствах Лебега, Лоренца и Орлича–Лоренца. Получены приложения пространств обобщенной гладкости к исследованию условий сходимости и суммируемости спектральных разложений по собственным функциям дифференциальных операторов. Результаты играют важную роль при построении спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных.
Научные интересы
- спектральная теория дифференциальных операторов
- пространства функций обобщенной гладкости
- оптимальные вложения для пространств функций обобщенной гладкости
- интегральные неравенства и оценки операторов на конусах функций со свойствами монотонности
- оптимальные вложения для обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса
- операторы в общих пространствах типа Морри
В работе дана характеризация пространств, двойственных к весовым пространствам Лоренца, с помощью обратных неравенств Гёльдера. Затем этот принцип двойственности применяется для характеристики весовых функций, для которых тождественный оператор, максимальный оператор Харди-Литтлвуда и преобразование Гильберта ограничены в весовых пространствах Лоренца.
Получен критерий получен для неравенства типа Харди. Этот критерий близок к тому, чтобы быть необходимым и достаточным. В некоторых случаях случае, когда неравенство, приведенное в критерии обратимо, удается получить неравенство типа Пуанкаре.
M. L. Gol'dman, R. A. Kerman. On Optimal Embedding of Calderon Spaces and Generalized Besov Spaces. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2003, 243, 154–184.
На русском
Для изотропных пространств типа Кальдерона и обобщенных пространств Бесова установлены критерии вложений в перестановочно инвариантные пространства, найдены точные оценки убывающих перестановок и даны описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств.
Goldman M.L. Rearrangement Invariant Envelopes of generalized Besov, Sobolev and Calderon Spaces // Contemporary Mathematics. 2007. Vol. 424. P. 53–81.
Приведен обзор последних результатов об описании перестановочно инвариантных оболочек для обобщенных пространств Бесова, Соболева и Кальдерона. Для них описаны наименьшие перестановочно инвариантные пространства, в которые вложены эти пространства. Результаты основаны на эквивалентных описаниях для конусов убывающих перестановок функций из пространств Бесова, Соболева и Кальдерона.
В статье рассматриваются пространства потенциалов в n-мерном евклидовом пространстве. Они построены на основе перестановочно-инвариантного пространства, используя свертки с некоторыми ядрами общего вида. В частности, рассматриваются пространства классических потенциалов Бесселя и Рисса. Установлена эквивалентная характеристика конусов убывающих перестановок потенциалов. Это ключевой результат для описания интегральных свойств потенциалов.
В работе изучаются пространства потенциалов Бесселя в n-мерных евклидовых пространствах. Они построены на основе перестановочно - инвариантного пространства с использованием сверток с ядрами Бесселя-Макдональда. В частности, рассмотрены пространства классических потенциалов Бесселя. Установлены двусторонние оценки для соответствующего модуля непрерывности порядка k ∈ N, ωk (f; t) и описаны оболочки модулей непрерывности. Затем этот результат применяется для оценки аппроксимативных чисел некоторых вложений.
В статье доказано, что ограниченность максимального оператора M из пространства Лебега Lp1 (Rn) в общее локальное пространство типа Морри LMp2θ, w (Rn) эквивалентна ограниченности оператора вложения Lp1 (Rn) в LMp2θ, w (Rn) и, в свою очередь, к ограниченности оператора Харди из L p1 / p2 (0, ∞) в весовое пространство Лебега L θ / p2, v (0, ∞) для некоторой весовой функции v, определяемой функциональным параметром w. Это позволяет получить необходимые и достаточные условия для функции w, обеспечивающей ограниченность M из Lp1 (Rn) в LMp2θ, w (Rn) для любого 0 <θ≤ ∞, 0 <p2 ≤ p1 ∞, p1> 1. Эти условия с p1 = p2 = 1 необходимы и достаточны для ограниченности M из L1 (Rn) в слабое локальное пространство типа Морри W LM1θ, w (Rn).
Исследуется задача о построении минимального банахова функционального пространства, содержащего заданный конус неотрицательных измеримых функций. Получены общие формулы для функциональной нормы, ассоциированной с нормой оптимального пространства, и дана их конкретизация в случае конуса, заданного интегральным представлением. Рассмотрена также аналогичная задача о построении оптимального перестановочно инвариантного пространства и проведено сопоставление полученных описаний.
Работа посвящена обобщенным потенциалам Бесселя, построенным с использованием сверток обобщенных ядер Бесселя-Макдональда с функциями из базового перестановочно-инвариантного пространства. Если критерий вложения потенциалов в пространство ограниченных непрерывных функций выполняется, мы приводим эквивалентные описания для конуса модулей непрерывности потенциалов в равномерной норме. Это позволяет получить критерий для вложения потенциалов в пространство Кальдерона. В случае обобщенных потенциалов Бесселя, построенных над весовым пространством Лоренца, мы явно описываем оптимальное пространство Кальдерона для такого вложения.
В работе получены формулы для обобщенной функциональной нормы, ассоциированной с двухвесовой интегральной квазинормой. Описано минимальное обобщенное банахово функциональное пространство, содержащее заданное квазибанахово пространство, заданное двухвесовой интегральной квазинормой.
Исследуется задача о построении минимального квазибанахова идеального пространства, содержащего заданный конус неотрицательных функций со свойствами монотонности. Построение проводится с помощью невырожденных операторов. Приведены общие результаты о построении оптимальных оболочек, согласованных с отношением порядка, и получены конкретизации этих построений для различных конусов и различных отношений порядка. Рассмотрен вопрос о порядковом накрывании и порядковой эквивалентности конусов.
Исследуются свойства пространств обобщенной гладкости, таких как пространства Кальдерона, которые включают в себя классические пространства Никольского–Бесова и многие их обобщения, и описываются дифференциальные свойства обобщенных бесселевых потенциалов, которые включают в себя классические потенциалы Бесселя и пространства Соболева. Ядра потенциалов могут иметь нестепенные особенности в окрестности начала координат. С помощью точных по порядку оценок модулей непрерывности потенциалов устанавливаются критерии вложений потенциалов в пространства Кальдерона и описываются оптимальные пространства для таких вложений.
В настоящей работе мы продолжаем изучение общих пространств Морри, используя общее инвариантное пространство перестановок в качестве базового пространства и общее идеальное пространство в качестве внешнего пространства. Здесь мы рассмотрим некоторые классы положительно однородных монотонных операторов из общих инвариантных пространств перестановок в общие пространства Морри и получим оценки их норм. Этот подход охватывает многие операторы анализа, такие как операторы вложения и симметризации, максимальные операторы Харди-Литтлвуда, обобщенные потенциалы Рисса, операторы типа Харди.
Рассматриваются пространства обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса и устанавливаются критерии вложения этих пространств в инвариантные пространства перестановок. Для этого получены конструктивные эквивалентные описания конусов убывающей перестановки потенциалов. Покрытие и эквивалентность конусов изучаются относительно отношений порядка, что позволяет существенно ослабить предположения о ядрах потенциалов.
Рассматриваются вопросы порядкового накрывания и порядковой эквивалентности для конусов функций со свойствами монотонности, связанных с убывающими перестановками обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса.
Рассматриваются модулярные и нормальные неравенства на конусе всех неотрицательных функций, а также на конусе всех неотрицательных убывающих функций во взвешенном пространстве Орлица. Доказаны теоремы редукции для нормы положительно однородного оператора на конусе. Показывается, что она эквивалентна норме некоторого модифицированного оператора на конусе всех неотрицательных функций в этом пространстве. Аналогичные результаты получены для модулярных неравенств.
Установлены критерии справедливости модулярных неравенств для оператора Харди на конусе неотрицательных убывающих функций из весового пространства Орлича с общим весом. Результат базируется на теореме редукции модулярных неравенств для положительно однородного оператора на конусе, которая позволяет перейти к модулярным неравенствам для модифицированного оператора на конусе всех неотрицательных функций из пространства Орлича. Показано, что для оператора Харди модифицированный оператор является обобщенным оператором Харди. Это позволило установить явные критерии справедливости модулярных неравенств.
Рассматривается сужение монотонного оператора на конус неотрицательных убывающих функций из весового пространства Орлича без дополнительных априорных предположений о свойствах функции Орлича и весовой функции. Мы устанавливаем точную по порядку двустороннюю оценку нормы этого сужения с помощью специально построенной процедуры дискретизации. Аналогичные оценки получены также для монотонных операторов над соответствующими пространствами Орлича–Лоренца. В качестве приложений мы получаем описания ассоциированных пространств для конуса и для пространства Орлича–Лоренца. Результаты являются новыми и актуальными в теории этих пространств.
Работа содержит доказательство общих результатов о вычислении норм монотонных операторов, действующих из одного идеального пространства в другое при условии согласования свойств выпуклости и вогнутости оператора и норм в идеальных пространствах.