Математик РУДН рассчитал скорость волны для постинсультной терапии

Множество биологических и химических процессов описываются уравнениями, которые получили название «реакция-диффузия». Обычно к таким задачам приводят распределенные биологические системы, то есть такие структуры, в которых некоторый биологический параметр неравномерно распределен в пространстве. К таким системам относится, например, нервная ткань. Рассматривать систему как единое целое позволяют процессы переноса энергии – они описываются диффузионным слагаемым в уравнении «реакция-диффузия». Благодаря этой своеобразной связанности отдельных точек пространства друг с другом в среде могут передаваться так называемые волны возбуждения – например, нервный импульс.

В некоторых случаях скорость и форму волны возбуждения можно рассчитать с помощью существующих математических методов. Однако для нахождения скорости волны возбуждения в коре головного мозга они не применимы. Математик РУДН совместно с российскими и зарубежными коллегами решил эту проблему в общем виде.

Авторы рассмотрели интегро-дифференциальное уравнение, то есть уравнение, содержащее в себе одновременно и интеграл, и производные. Помимо искомой функции в уравнение вошли дополнительные параметры, с точки зрения математики отвечающие за связанность среды, ее отклик и плотность. Можно их интерпретировать и с точки зрения физики – тогда эти параметры описывают возбудимость нейронов, связь их между собой и скорость затухания нервного импульса. Помимо самого уравнения математики сформулировали граничные условия, при которых в уравнении возникает решение типа бегущей волны.

Скорость распространения бегущей волны – один из важнейших параметров систем типа реакция-диффузия. Однако найти ее для случая внешней стимуляции мозга в явном виде найти невозможно. Зато математику из РУДН удалось найти ее так называемое минимаксное представление. Этот метод позволяет аналитически оценить скорость «сверху» и «снизу», то есть определить значения, между которыми находится искомый параметр.  

Теоретические результаты математиков уже нашли практическое применение в задаче расчета параметров постинсультной стимуляции мозга. Из-за повреждения нейронов в результате инсульта изменяются свойства нервной ткани как распределенной биологической среды. В частности, меняется возбудимость нейронов и ухудшается их связь между собой. Из-за этого понижается скорость распространения бегущей волны – нервного импульса. Восстановить ее можно с помощью внешней стимуляции. Для этого в мозг вживляют электроды или создают внешнее магнитное поле, которые генерируют электромганитные импульсы. Это процедура известна и уже используется, но как точно рассчитать оптимальные параметры внешних импульсов, до сих пор было неизвестно.

«Наш метод минимаксной оценки скорости распространения бегущей волны можно применить для расчета скорости нервного импульса в неповрежденных областях коры головного мозга. Исходя из полученных значений можно подобрать параметры внешней стимуляции, необходимые для конкретного пациента и восстановить скорость нервного импульса в поврежденных частях ткани», – рассказал Виталий Вольперт один из авторов исследования, руководитель лаборатории математического моделирования в биомедицине РУДН.

Статья в в журнале Applied Mathematics Letters.