Математики РУДН использовали идеи XIX века для улучшения современных систем компьютерной алгебры
Первая компьютерная программа, которая может вычислять интегралы от элементарных функций, была создана в конце 1950-х годов. Тогда разработчики показали, что компьютер можно использовать не только как арифмометр, но и для задач, решение которых требует «размышлений». Пример такой задачи — интегрирование в символьном виде, то есть не с конкретными цифрами, а в буквенных, абстрактных обозначениях. Однако тогда же стало ясно, что ни человек, ни компьютер не в состоянии на основе методов, изучаемых в университетском курсе анализа, выяснить за конечное число действий, берется ли заданный интеграл в элементарных функциях, или нет. Поэтому в 1960-е годы к разработке символьных интеграторов были привлечены методы, разработанные Лиувиллем еще в 1830-х годах, и тем самым начат процесс освоения классического наследия в компьютерных науках.
Одним из наиболее тонких мест в разработке интеграторов оказалось вычисление первообразных от алгебраических функций. Интегрирование алгебраических функций, или абелевых интегралов, является одной из тех задач, которые до Первой мировой войны казались важнейшими, а после нее были прочно забыты. «Существующие системы компьютерной алгебры в состоянии удовлетворить самые экзотические запросы студентов, обучающихся математическому анализу. Однако в то же время далеко не всегда эти системы распознают интегралы, которые берутся в элементарных функциях. Есть несколько пакетов для интегрирования алгебраических функций или с абелевыми интегралами, но их развитие остановилось лет 15 назад, а функционал остается весьма и весьма скромным», — говорит доктор физико-математических наук Михаил Малых, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН. Именно этому сложному вопросу посвящена статья математиков.
Одна из теорий в этой области, созданная 1870-х годах немецким математиком Карлом Вейерштрассом, сводит вычисление интеграла от алгебраической функции к вычислению некоторого набора известных интегралов всего трех типов. Исходный интеграл представляется в виде суммы стандартных интегралов — эта конструкция называется нормальной формой абелева интеграла. Математики РУДН доказали, что такое представление позволяет сразу определить, можно ли заданный интеграл посчитать в элементарных функциях. Чтобы проверить теоретические выкладки, математики протестировали их на примере простейших эллиптических интегралов. Проверку провели с помощью программного пакета, который математики представили в 2017 году, — он позволяет вычислять коэффициенты нормальной формы интеграла. В дальнейшем математики надеются провести аналогичные исследования для более широкого класса интегралов.
Результаты опубликованы в Journal of Symbolic Computation.
Статья в Indicator.ru
Аспирант кафедры технологий строительства и конструкционных материалов инженерной академии РУДН Серафим Загородний вошёл в число победителей конкурса «УМНИК-2026» (очередь 1), организованного Фондом содействия инновациям. По итогам отбора его проект получил грант в размере 500 тысяч рублей сроком на 12 месяцев. Всего на конкурс было подано более 3 тысяч заявок по 6 направлениям, из которых к финансированию рекомендованы 500 проектов на общую сумму 250 миллионов рублей.
Институт инновационных инженерных технологий (ИИИТ) РУДН объединяет лазерные технологии, материаловедение, медицину, геофизику, гироскопию и искусственный интеллект. Здесь создают биосовместимые покрытия для коронарных стентов, восстанавливают детали авиадвигателей, разрабатывают волновые твердотельные гироскопы и строят гоночные болиды для участия в международных соревнованиях «Формула Студент». О том, как устроен институт, какие разработки уже внедрены в промышленность и какие задачи предстоит решить, мы поговорили с заместителем директора института Рамзи Абу-Ниджимом.
Продолжаем рассказывать о возможностях для студентов, которые хотят проявить себя как исследователи. Конкурс «Совместный старт» проводится ежегодно в весеннем семестре и ориентирован на поддержку молодёжных объединений. Его цель — помочь студенческим коллективам разработать инновационные и представительские проекты на основе проводимых в РУДН исследований, с перспективой участия в сторонних конкурсах, грантовых программах и научно-технических мероприятиях.