Научный семинар «Обобщение метода конечных разностей на задачи с особенностями в решении»

15 декабря в 15:00 по московскому времени

Институт прикладной математики и телекоммуникаций проводит научный семинар «Обобщение метода конечных разностей на задачи с особенностями в решении».

В физике и технике возникают новые все более сложные задачи, предъявляющие чрезвычайно высокие требования к точности и надежности расчета. Это приводит к бурному развитию приближенных методов расчета, из которых наиболее универсальными являются методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). В рамках этих подходов разработано большое количество алгоритмов как общего назначения, так и ориентированных на конкретные прикладные задачи. Эти алгоритмы реализованы в широко известных прикладных пакетах.

Большой вклад в развитие МКР был сделан Калиткиным и его учениками: предложенные ими алгоритмы позволили значительно расширить круг задач, которые удается успешно решать с помощью МКР.

Однако, несмотря на достигнутые успехи, ряд задач по-прежнему не удается решить в рамках существующих реализаций МКР. Общим свойством этих задач является наличие особенностей в решении: пограничных слоев (которые в пределе при уменьшении ширины стремятся к сильным разрывам), сингулярностей (в которых решение обращается в бесконечность), сильных либо слабых разрывов на границах раздела сред. Такие особенности представляют принципиальные трудностями для разностных методов.

В диссертации предложены и обоснованы, программно реализованы и протестированы новые алгоритмы метода конечных разностей для следующих классов задач.

1) Жесткие задачи Коши для ОДУ. Предложен новый метод автоматического выбора шага по кривизне интегральной кривой (геометрически-адаптивные сетки). Разработана процедура сгущения таких сеток, которая позволила применить метод Ричардсона и находить апостериорную асимптотически точную оценку погрешности полученного решения. Это позволило вести расчеты задач высокой жесткости по экономичным явным схемам с апостериорным контролем точности.

2) Задачи Коши с сингулярностями в решении. Предложены методы численного исследования подвижных особых точек и их последовательностей в решениях ОДУ с апостериорной асимптотически точной оценкой погрешности.

3) Задачи для системы одномерных уравнений Максвелла в слоистых средах с частотной дисперсией. Для системы стационарных и нестационарных одномерных уравнений Максвелла предложена бикомпактная консервативная разностная схема. Построено обобщение этой схемы на двумерную задачу о наклонном падении излучения плоской волны на систему плоско-параллельных пластин.

Подключение